ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.120 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В окружности проведены хорды AK и BM, пересекающиеся в точке C. Найдите отрезок KM, если AB = 4 см, BC = 2 см, KC = 8 см.

Треугольники \(ABC\) и \(MCK\) подобны (вершинное соответствие: \(A \leftrightarrow M\), \(B \leftrightarrow C\), \(C \leftrightarrow K\)).

По подобию: \(\frac{AB}{MC}=\frac{BC}{CK}\Rightarrow \frac{4}{MC}=\frac{2}{8}\Rightarrow MC=16\) см.

Тогда \(KM=MC=16\) см.

В окружности проведены хорды \(AK\) и \(BM\), они пересекаются в точке \(C\). Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(MCK\). Угол \(ACB\) является вертикальным к углу \(MCK\), поэтому они равны. Кроме того, углы \(ABC\) и \(CMK\) опираются на одну и ту же дугу, следовательно равны как вписанные, а третьи углы в треугольниках также равны как дополняющие до \(180^\circ\). Значит, треугольники \(ABC\) и \(MCK\) подобны по двум углам, что даёт пропорциональность соответствующих сторон: \(AB \leftrightarrow MC\), \(BC \leftrightarrow CK\), \(AC \leftrightarrow MK\).

Запишем отношение сходственных сторон. По подобию треугольников имеем пропорцию \(\frac{AB}{MC}=\frac{BC}{CK}\). Подставим известные длины: \(AB=4\) см, \(BC=2\) см, \(CK=8\) см, получим \(\frac{4}{MC}=\frac{2}{8}\). Решим её: сначала вычислим правую дробь \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\), затем из равенства \(\frac{4}{MC}=\frac{1}{4}\) домножим обе части на \(MC\) и на \(4\), получим \(4\cdot 4=MC\), то есть \(MC=16\) см.

Так как по установенному соответствию сторон в подобии \(AC\) соответствует \(MK\), а коэффициент подобия одинаков для всех пар, длина \(MK\) равна длине \(MC\), найденной из пропорции. Следовательно, \(KM=16\) см.