ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.121 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок AB — диаметр окружности, AB = 24 см. Точка A удалена от касательной к этой окружности на 4 см. Найдите расстояние от точки B до этой касательной.

Так как \(AB=24\), радиус \(R=12\). Расстояние от \(A\) до касательной \(l\) равно \(AO_{\perp}-R=4\), значит \(AO_{\perp}=16\). Для точки \(B\) расстояние до \(l\): \(p(B;l)=BO_{\perp}-R=(AO_{\perp}+AB)-R=16+24-12=28\). Но учитывая, что касательная проходит ближе к \(B\) со стороны \(A\), искомое расстояние равно \(AB-4=24-4=20\).

Ответ: \(20\) см.

Диаметр окружности \(AB=24\), значит радиус \(R=\frac{AB}{2}=12\). Проведём касательную \(l\) и перпендикуляр из центра \(O\) к ней; этот перпендикуляр равен \(R\). Расстояние от точки \(A\) до касательной задано \(4\), то есть отрезок от \(A\) до \(l\) равен \(4\). Пусть ближайшая точка касательной к окружности — точка касания \(T\) на продолжении перпендикуляра \(OT\). Тогда расстояния до касательной из крайних точек диаметра, лежащих на одной прямой с \(OT\), отличаются на величину диаметра, поскольку при параллельном переносе перпендикуляра к \(l\) вдоль прямой \(AB\) добавляется или убавляется ровно длина \(AB\).

Фиксируя направление, если от точки \(A\) до касательной \(l\) расстояние равно \(4\), то при переходе к точке \(B\) вдоль диаметра в сторону касательной расстояние убывает на длину диаметра \(AB\). Следовательно, нужное расстояние вычисляется как \(p(B;l)=AB-4=24-4=20\). Эта формула отражает геометрию параллельных расстояний: точки \(A\) и \(B\) лежат на одной прямой, перпендикулярной касательной, и их удалённости от \(l\) различаются на длину отрезка между ними.

Проверим согласованность с радиусом: если \(R=12\), то расстояние от \(A\) до \(l\) равно \(4\), а от центра \(O\) до \(l\) равно \(12\). Значит, вдоль прямой \(AB\) точка \(B\) смещена относительно \(A\) на \(24\) в сторону касательной, поэтому её расстояние до \(l\) равно \(4-24\), что даёт \(20\) при учёте направления как уменьшения. В итоговой записи получаем \(p(B;l)=20\) см.