ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.122 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Две окружности, расстояние между центрами которых равно 17 см, имеют внешнее касание. Найдите радиусы этих окружностей, если расстояние между точками касания окружностей с их общей внешней касательной равно 15 см.

Дано: расстояние между центрами \(O_1O_2=17\) см, окружности внешне касаются, расстояние между точками касания с общей внешней касательной \(AB=15\) см. Пусть радиусы \(r_1>r_2\).

Из прямоугольного треугольника с катетами \(|r_1-r_2|\) и \(AB\) и гипотенузой \(O_1O_2\): \((r_1-r_2)^2+15^2=17^2\). Тогда \(|r_1-r_2|=\sqrt{289-225}=8\), то есть \(r_1-r_2=8\).

Так как внешнее касание, то \(r_1+r_2=O_1O_2=17\). Решая систему \(r_1-r_2=8\) и \(r_1+r_2=17\), получаем \(r_1=12{,}5\) см, \(r_2=4{,}5\) см.

1) Пусть центры окружностей \(O_1\) и \(O_2\) расположены на расстоянии \(O_1O_2=17\) см, радиусы равны \(r_1\) и \(r_2\) \(\,(r_1>r_2)\). Окружности имеют внешнее касание, поэтому линия центров \(O_1O_2\) проходит через точку касания окружностей, а общая внешняя касательная касается каждой окружности в своих точках; обозначим их \(A\) и \(B\). Отрезок \(AB\) соединяет точки касания с одной и той же внешней касательной и по условию равен \(15\) см. Прямые \(O_1A\) и \(O_2B\) перпендикулярны касательной, следовательно, четырёхугольник \(O_1A BO_2\) содержит прямые углы при \(A\) и \(B\), а отрезки \(O_1A=r_1\) и \(O_2B=r_2\).

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный разностью радиусов и отрезком между точками касания. Если опустить перпендикуляры \(O_1A\) и \(O_2B\) на общую касательную, то между их основаниями и возникает отрезок \(AB\). При смещении одного перпендикуляра относительно другого по линии центров на величину \(|r_1-r_2|\) получается прямоугольный треугольник с катетами \(|r_1-r_2|\) и \(AB=15\), а гипотенузой является расстояние между центрами \(O_1O_2=17\). По теореме Пифагора имеем \( (r_1-r_2)^{2}+15^{2}=17^{2}\). Отсюда \( (r_1-r_2)^{2}=289-225=64\), следовательно, \(|r_1-r_2|=8\). Поскольку \(r_1>r_2\), получаем \(r_1-r_2=8\).

3) Для внешнего касания выполняется ещё одно геометрическое соотношение: расстояние между центрами равно сумме радиусов, то есть \( r_1+r_2=17\). Имеем систему из двух линейных уравнений \( r_1-r_2=8\) и \( r_1+r_2=17\). Складывая уравнения, находим \( 2r_1=25\), откуда \( r_1=\frac{25}{2}=12{,}5\) см. Подставляя в любое из уравнений, получаем \( r_2=17-12{,}5=4{,}5\) см. Ответ: радиусы равны \( r_1=12{,}5\) см и \( r_2=4{,}5\) см.