ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.123 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В угол, величина которого составляет \(60^\circ\), вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Найдите радиус большей из них, если радиус меньшей равен 6 см.

Меньшая окружность радиуса \(r_1=6\) см касается сторон угла \(60^\circ\). Центры лежат на биссектрисе, расстояние между центрами при внешнем касании равно \(r_1+r_2\). Проекция перпендикуляров к стороне на биссектрису даёт связь \(r_2=r_1\cdot\frac{1+\cos 60^\circ}{1-\cos 60^\circ}\).

Так как \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\), имеем \(r_2=r_1\cdot\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=r_1\cdot\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3r_1\).

При \(r_1=6\) см получаем \(r_2=3\cdot 6=18\) см.

Рассмотрим угол величиной \(60^\circ\) и две окружности, вписанные в этот угол так, что каждая касается обеих его сторон, а между собой они касаются внешним образом. Центры этих окружностей лежат на биссектрисе угла, потому что для окружности, касающейся двух пересекающихся прямых, геометрическое место центров — линия, равноудалённая от обеих сторон, то есть биссектриса. Расстояние от центра любой такой окружности до каждой стороны равно её радиусу. Пусть меньшая окружность имеет радиус \(r_1=6\) см, а большая — радиус \(r_2\), который нужно найти.

Проведём из каждого центра перпендикуляры к одной стороне угла. Длины этих перпендикуляров равны соответствующим радиусам: для меньшей окружности это \(r_1\), для большей — \(r_2\). Проекции этих перпендикуляров на направление биссектрисы будут равны \(r_1\cos 30^\circ\) и \(r_2\cos 30^\circ\), поскольку биссектриса образует угол \(30^\circ\) с каждой стороной угла \(60^\circ\). При внешнем касании расстояние между центрами окружностей вдоль линии, соединяющей центры, равно \(r_1+r_2\). Это расстояние можно получить как разность их проекций высот на биссектрису, поэтому выполняется равенство \(r_1+r_2=(r_2-r_1)\cos 30^\circ\). Однако более удобно использовать стандартную формулу соотношения радиусов для двух окружностей, вписанных в угол \(\alpha\) и касающихся друг друга: \(r_2=r_1\cdot\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}\). Эта формула следует из подобия треугольников, образованных центрами и точками касания, и факта, что горизонтальные (вдоль биссектрисы) расстояния выражаются через прилежащие катеты с множителем \(\cos\alpha\).

Подставим \(\alpha=60^\circ\), тогда \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\). Получаем \(r_2=r_1\cdot\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=r_1\cdot\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3r_1\). Таким образом, радиус большей окружности в три раза превышает радиус меньшей, что геометрически объясняется симметрией расположения центров на биссектрисе и фиксированным углом между сторонами. При \(r_1=6\) см имеем \(r_2=3\cdot 6=18\) см.