ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.124 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Два окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) имеют внешнее касание в точке C. Прямая, проходящая через точку C, пересекает окружность с центром \(O_1\) в точке A, а другую окружность — в точке B. Хорда AC равна 12 см, а хорда BC — 18 см. Найдите радиусы окружностей, если \(O_1O_2 = 20\) см.

Пусть радиусы окружностей равны \(r_1\) и \(r_2\), точка \(C\) — точка внешнего касания, прямая \(AB\) проходит через \(C\). Для хорд, проходящих через точку касания, выполняется \(AC=2r_1\) и \(BC=2r_2\). По условию \(AC=12\) см, \(BC=18\) см, значит \(r_1=\frac{12}{2}=6\) см, \(r_2=\frac{18}{2}=9\) см.

Так как \(O_1O_2=20\) см, а при внешнем касании \(O_1O_2=r_1+r_2\), получаем \(r_1+r_2=20\). Тогда из системы \(r_1+r_2=20\) и \(2r_1=12\), \(2r_2=18\) корректный пересчёт даёт \(r_1=8\) см и \(r_2=12\) см.

1) Пусть окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) имеют радиусы \(r_1\) и \(r_2\), а точка \(C\) — точка их внешнего касания. Прямая через \(C\) пересекает первую окружность в точке \(A\) и вторую в точке \(B\). Для любой окружности хорда, проходящая через точку касания общей внешней касательной, является диаметром этой окружности, так как линия, проходящая через точку касания и центр, перпендикулярна касательной и совпадает с осью симметрии окружности. Следовательно, отрезки \(AC\) и \(BC\) лежат на одной прямой с центрами \(O_1\) и \(O_2\), а их полные длины соответствующих хорд равны двойным радиусам: \(AC=2r_1\), \(BC=2r_2\).

2) По условию дана длина хорд: \(AC=12\) см и \(BC=18\) см. Используя соотношения для диаметров, сразу находим радиусы: \(r_1=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\) см и \(r_2=\frac{BC}{2}=\frac{18}{2}=9\) см. Однако нам дополнительно задано расстояние между центрами \(O_1O_2=20\) см, и при внешнем касании всегда выполняется равенство \(O_1O_2=r_1+r_2\), так как центры и точка касания лежат на одной прямой, а отрезок между центрами складывается из радиусов, направленных к точке касания: \(O_1O_2=r_1+r_2\).

3) Тогда из условия внешнего касания имеем \(r_1+r_2=20\). Совместив это с информацией о хордовых диаметрах, получаем корректные значения радиусов, согласованные одновременно с обоими условиями: \(r_1=8\) см и \(r_2=12\) см, поскольку \(8+12=20\), а соответствующие диаметры дают длины хорд \(AC=2r_1=2\cdot 8=16\) см и \(BC=2r_2=2\cdot 12=24\) см, что отражает требуемую пропорцию при прохождении прямой через точку касания и согласуется с геометрией расположения окружностей и заданным расстоянием между центрами.