ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.126 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Две окружности пересекаются в точках A и B. Проведены диаметры AD и AC этих окружностей. Докажите, что точки B, C и D лежат на одной прямой. (Рассмотрите случаи расположения центров окружностей в одной и в различных полуплоскостях относительно прямой AB.)

Рассмотрим окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\), пересекающиеся в точках \(A\) и \(B\). Проведены диаметры \(AD\) в первой окружности и \(AC\) во второй.

— Угол, опирающийся на диаметр \(AD\), прямой: \( \angle ABD = 90^\circ \).
— Угол, опирающийся на диаметр \(AC\), также прямой: \( \angle CBA = 90^\circ \).

В обоих случаях (центры \(O_1\) и \(O_2\) по одну или по разные стороны от прямой \(AB\)) суммы смежных углов при вершине \(B\) дают развёрнутый угол:
\( \angle DBC = \angle ABD + \angle CBA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Следовательно, точки \(B\), \(C\) и \(D\) лежат на одной прямой.

Пусть окружности имеют центры \(O_1\) и \(O_2\) и пересекаются в точках \(A\) и \(B\). В первой окружности проведён диаметр \(AD\), во второй окружности проведён диаметр \(AC\). Напомним факт: если угол опирается на диаметр, то он прямой. То есть любая вписанная точка, соединённая с концами диаметра хордами, образует прямой угол. Применим это к обеим окружностям. В первой окружности точки \(A\), \(B\), \(D\) лежат на ней, поэтому угол, опирающийся на дугу \(AD\), равен \(90^\circ\): \( \angle ABD = 90^\circ \). Во второй окружности точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на ней, и угол, опирающийся на дугу \(AC\), равен \(90^\circ\): \( \angle CBA = 90^\circ \). Эти два угла расположены при вершине \(B\) по разные стороны луча \(BA\) и совместно образуют угол между лучами \(BD\) и \(BC\).

Рассмотрим взаимное расположение центров. Если центры \(O_1\) и \(O_2\) лежат по одну сторону от прямой \(AB\), то точки \(D\) и \(C\) оказываются по разные стороны от луча \(BA\): отрезки \(BD\) и \(BC\) «спускаются» с вершины \(B\) к противоположным сторонам относительно \(BA\). Тогда углы \( \angle ABD \) и \( \angle CBA \) являются смежными при вершине \(B\), а их суммы дают развёрнутый угол. Запишем это численно: \( \angle ABD = 90^\circ \) и \( \angle CBA = 90^\circ \), поэтому \( \angle DBC = \angle ABD + \angle CBA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \). Развёрнутый угол при вершине \(B\) означает, что лучи \(BD\) и \(BC\) лежат на одной прямой, следовательно, точки \(B\), \(C\), \(D\) коллинеарны.

Если центры \(O_1\) и \(O_2\) лежат по разные стороны от прямой \(AB\), то картина зеркально перестраивается: теперь точки \(D\) и \(C\) оказываются по одну сторону относительно \(BA\), но сами лучи \(BD\) и \(BC\) занимают противоположные направления так, чтобы угол между ними при вершине \(B\) снова составил сумму двух прямых углов. Формально остаётся в силе тот же вывод: \( \angle ABD = 90^\circ \) и \( \angle CBA = 90^\circ \), а значит \( \angle DBC = 180^\circ \). В обоих случаях геометрический механизм один и тот же: два вписанных прямых угла, опирающихся на диаметры \(AD\) и \(AC\), при вершине \(B\) складываются в развёрнутый угол, что эквивалентно коллинеарности точек \(B\), \(C\), \(D\).

Итак, в силу свойства вписанного угла, опирающегося на диаметр, мы всегда имеем \( \angle ABD = 90^\circ \) и \( \angle CBA = 90^\circ \). Независимо от положения центров \(O_1\) и \(O_2\) относительно прямой \(AB\), эти углы при вершине \(B\) являются смежными и дают развёрнутый угол: \( \angle DBC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \). Следовательно, точки \(B\), \(C\) и \(D\) лежат на одной прямой.