ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.127 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена секущая, пересекающая окружности в точках C и D. Докажите, что величина угла CAD является постоянной для любой секущей, проходящей через точку B. (Рассмотрите случаи расположения точек C и D в одной и в различных полуплоскостях относительно прямой AB.)

Рассмотрим две окружности с общими точками \(A\) и \(B\). Через \(B\) проведём секущую, пересекающую окружности в \(C\) и \(D\). Требуется доказать, что \(\angle CAD\) не зависит от выбора секущей.

— Случай 1: точки \(C\) и \(D\) лежат в одной полуплоскости относительно прямой \(AB\). Тогда угол \(\angle CAD\) есть внешний угол к дугам, опирающимся на хорды \(AC\) и \(AD\). По теореме об угле между хордой и касательной (в форме для угла между двумя хордами) получаем: \(\angle CAD=\frac12(\widehat{CD_1}-\widehat{C_1D})\), где шляпками обозначены соответствующие дуги на первой и второй окружностях. Эти дуги фиксированы, так как их концы \(A\) и точки пересечения окружностей неизменны, значит и \(\angle CAD\) постоянен.

— Случай 2: точки \(C\) и \(D\) лежат в разных полуплоскостях относительно \(AB\). Тогда \(\angle CAD=\angle CAB+\angle BAD\). Поскольку \(\angle CAB\) стягивает фиксированную дугу первой окружности, он постоянен; \(\angle BAD\) стягивает фиксированную дугу второй окружности, он также постоянен. Следовательно, сумма \(\angle CAD\) постоянна.

Итак, в обоих случаях \(\angle CAD\) не зависит от выбора секущей через \(B\), то есть величина угла \(CAD\) постоянна.

Рассмотрим две окружности, пересекающиеся в точках \(A\) и \(B\). Через точку \(B\) проведём произвольную секущую, которая повторно пересекает первую окружность в точке \(C\), а вторую окружность в точке \(D\). Требуется показать, что угол \(\angle CAD\) имеет одну и ту же величину для любой такой секущей. Ключевая идея: разложить угол \(\angle CAD\) на сумму или разность углов, каждый из которых опирается на фиксированные дуги соответствующих окружностей, а значит, сам по себе постоянен. Далее отдельно рассмотрим два взаимодополняющих случая положения точек \(C\) и \(D\) относительно прямой \(AB\).

1) Случай: точки \(C\) и \(D\) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой \(AB\). Тогда луч \(AC\) и луч \(AD\) «обходят» точки \(C\) и \(D\) с разных сторон от \(AB\), поэтому угол при вершине \(A\) естественно раскладывается в сумму внутреннего и внешнего углов относительно прямой \(AB\): \(\angle CAD=\angle CAB+\angle BAD\). Здесь \(\angle CAB\) является вписанным углом первой окружности, опирающимся на дугу \(CB\) этой окружности. Поскольку дуга \(CB\) вместе с точками \(C\) и \(B\) лежит на первой окружности, а точка \(A\) фиксирована как одна из точек пересечения окружностей, то величина \(\angle CAB\) равна половине соответствующей дуги и не меняется при изменении направления секущей, потому что при любом положении секущей через \(B\) точка \(C\) остаётся на той же окружности, а вписанный угол, опирающийся на фиксированную дугу, постоянен: \(\angle CAB=\frac12\widehat{CB}\) первой окружности. Аналогично \(\angle BAD\) является вписанным углом второй окружности, опирающимся на её дугу \(BD\), и потому также постоянен: \(\angle BAD=\frac12\widehat{BD}\) второй окружности. Следовательно, сумма \(\angle CAD=\angle CAB+\angle BAD\) постоянна, то есть величина \(\angle CAD\) не зависит от выбора секущей.

2) Случай: точки \(C\) и \(D\) лежат в одной полуплоскости относительно прямой \(AB\). В этом положении лучи \(AC\) и \(AD\) направлены в одну сторону от \(AB\), и угол \(\angle CAD\) удобно выразить как разность двух углов, каждый из которых опирается на фиксированные дуги соответствующих окружностей. В самом деле, рассмотрим углы \(\angle CAB\) и \(\angle DAB\). Тогда \(\angle CAD=\angle CAB-\angle DAB\) или \(\angle DAB-\angle CAB\) в зависимости от взаимного расположения лучей \(AC\) и \(AD\); в любом случае по модулю это разность величин, каждая из которых является вписанным углом, опирающимся на фиксированную дугу. Как и ранее, \(\angle CAB=\frac12\widehat{CB}\) на первой окружности, а \(\angle DAB=\frac12\widehat{DB}\) на второй окружности. Поскольку точки \(A\) и \(B\) фиксированы как точки пересечения окружностей, соответствующие дуги \(\widehat{CB}\) и \(\widehat{DB}\) фиксированы на своих окружностях. Следовательно, разность \(\angle CAD\) постоянна, то есть угол не меняется при повороте секущей через \(B\) внутри данной полуплоскости.

Итог для обоих случаев един: независимо от того, лежат ли \(C\) и \(D\) по одну сторону от прямой \(AB\) или по разные, угол \(\angle CAD\) выражается либо как сумма, либо как разность двух вписанных углов, каждый из которых опирается на фиксированную дугу своей окружности и потому неизменен при вращении секущей вокруг точки \(B\). Следовательно, \(\angle CAD\) имеет одну и ту же величину для любой секущей, проходящей через \(B\), то есть величина угла \(\angle CAD\) является постоянной.