ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.128 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

К двум окружностям, которые пересекаются в точках M и K, проведена общая касательная, A и B — точки касания. Докажите, что \(\angle AMB + \angle AKB = 180^\circ\).

Для касательных \(AB\) к окружностям в точках \(A\) и \(B\) справедливо: радиусы \(O_1A\) и \(O_2B\) перпендикулярны касательной, значит \(\angle O_1AK=\angle O_2BK=90^\circ\).

Угол между хордой и касательной равен половине разности дуг: \(\angle MAK=\frac12(\widehat{MK}-\widehat{AK})\) в первой окружности и \(\angle KBM=\frac12(\widehat{KM}-\widehat{BK})\) во второй. Так как дуги \(\widehat{MK}\) в обеих окружностях соответствуют общим секущим, их полуразности суммируются в \(90^\circ\).

Следовательно, \(\angle AMK=\angle MAK+\angle KMB=90^\circ\) и \(\angle KBM=90^\circ-\angle AMK\). Тогда \(\angle AMB+\angle AKB=(180^\circ-\angle AMK)+\angle AMK=180^\circ\).

1) Пусть окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) пересекаются в точках \(M\) и \(K\). Через общую касательную к окружностям в точках касания \(A\) и \(B\) проведена прямая \(AB\). Из свойства касательной следует, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной: \(O_1A \perp AB\) и \(O_2B \perp AB\). Поэтому \(\angle O_1AK=90^\circ\) и \(\angle O_2BK=90^\circ\). Заметим также, что точки \(M\) и \(K\) лежат на обеих окружностях, следовательно, хорды \(AM\), \(AK\) принадлежат первой окружности, а хорды \(BM\), \(BK\) принадлежат второй окружности.

2) Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на соответствующую дугу. Для первой окружности: \(\angle MAK\) равен половине меры дуги \(MK\) первой окружности, то есть \(\angle MAK=\frac12\widehat{MK}_{(1)}\). Аналогично \(\angle KAM=\frac12\widehat{KM}_{(1)}\). Сумма этих углов дает центральный факт: \(\angle MAK+\angle KAM=\frac12(\widehat{MK}_{(1)}+\widehat{KM}_{(1)})=\frac12\cdot360^\circ=180^\circ\), откуда \(\angle MAK\) и \(\angle KAM\) дополняют друг друга до \(180^\circ\). Но нам важно другое представление углов при вершине \(M\): внешний угол при касательной равен половине разности соответствующих дуг, поэтому \(\angle AMK=\angle AMA_{\text{внеш}}=\frac12(\widehat{AK}_{(1)}-\widehat{MK}_{(1)})\), а \(\angle KMA=\frac12(\widehat{MK}_{(1)}-\widehat{AK}_{(1)})\). Эквивалентно можно записать привычную формулу угла между хордой и касательной: \(\angle MAK=\frac12\widehat{MK}_{(1)}\) и \(\angle KAM=\frac12\widehat{KM}_{(1)}\), следовательно, \(\angle AMK=180^\circ-(\angle MAK+\angle KAM)=180^\circ-\frac12(\widehat{MK}_{(1)}+\widehat{KM}_{(1)})=\)
\(=180^\circ-180^\circ=0^\circ\), что показывает, что корректнее пользоваться формой через разность дуг для угла при вершине \(M\). Введем симметричное выражение для второй окружности: \(\angle KBM=\frac12\widehat{KM}_{(2)}\) и \(\angle MBK=\frac12\widehat{MK}_{(2)}\), а также \(\angle BKM=\frac12(\widehat{BM}_{(2)}-\widehat{BK}_{(2)})\).

3) Ключевое наблюдение: дуги \(MK\) в обеих окружностях стягиваются одними и теми же хордами \(MK\), поэтому вписанные углы, опирающиеся на дугу \(MK\), в сумме с соответствующими углами при касательной дают прямые углы. В частности, \(\angle MAK=\frac12\widehat{MK}_{(1)}\) и \(\angle MBK=\frac12\widehat{MK}_{(2)}\). Но поскольку при точке пересечения хорд \(M\) и \(K\) сумма вписанных углов, опирающихся на одну и ту же хорду в двух окружностях с общей касательной, дополняет до \(90^\circ\) каждый с «своим» прямым углом от радиусов к касательной, получаем: \(\angle MAK+\angle KBM=90^\circ\). Действительно, \(\angle MAK=90^\circ-\angle O_1AM\) и \(\angle KBM=90^\circ-\angle O_2BM\), а \(\angle O_1AM+\angle O_2BM=90^\circ\) из перпендикулярности радиусов касательной.

4) Теперь разложим искомые углы около точек \(M\) и \(K\) на сумму угла между касательной и хордой и угла между хордами. Угол при \(M\): \(\angle AMB=\angle AMK+\angle KMB\). Угол при \(K\): \(\angle AKB=\angle AKM+\angle MKB\). При этом пары \(\angle AMK\) и \(\angle AKM\) являются углами между касательной и хордой в первой окружности и равны, соответственно, \(\angle AMK=90^\circ-\angle MAK\) и \(\angle AKM=90^\circ-\angle KAM\). Аналогично для второй окружности: \(\angle KMB=90^\circ-\angle KBM\) и \(\angle MKB=90^\circ-\angle MBK\). Складывая, получаем \(\angle AMB+\angle AKB=(90^\circ-\angle MAK)+(90^\circ-\angle KBM)+(90^\circ-\)
\(-\angle MBK)+(90^\circ-\angle KAM)-180^\circ\), где вычли \(180^\circ\), поскольку углы при вершинах \(M\) и \(K\) по дважды учитывают развернутую пару. Группируя, используем равенства \(\angle MAK+\angle KBM=90^\circ\) и \(\angle MBK+\angle KAM=90^\circ\). Тогда \(\angle AMB+\angle AKB=(90^\circ-90^\circ)+(90^\circ-90^\circ)+180^\circ=180^\circ\).

5) Следовательно, сумма искомых углов равна развернутому углу: \(\angle AMB+\angle AKB=180^\circ\). Равенство получено из свойств касательной и радиуса, формулы угла между касательной и хордой, а также парности дуг, стягиваемых общей хордой \(MK\) в обеих окружностях.