ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.129 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D. В точках C и D к данным окружностям проведены касательные, которые пересекаются в точке P. Докажите, что \(\angle DAC + \angle DPC = 180^\circ\).

Пусть прямые касательные в \(C\) и \(D\) пересекаются в \(P\). По теореме о касательной и секущей: угол между касательной в \(C\) и хордой \(CB\) равен вписанному углу, опирающемуся на дугу \(AB\), то есть \(\angle PCP_B=\angle DAB\). Аналогично \(\angle PDC=\angle DAC\).

Так как \(\angle CPC_D\) — внешний угол при пересечении касательных, то \(\angle DPC=180^\circ-(\angle PCP_B+\angle PDC)\).

Подставляя найденные равенства, получаем \(\angle DPC=180^\circ-(\angle DAB+\angle DAC)\).

Заметим, что точки \(A,B,C,D\) лежат на одних и тех же окружностях, поэтому вписанные углы, опирающиеся на одну дугу \(AD\), равны: \(\angle DAB=\angle DCB\). Кроме того, \(\angle DCB\) и \(\angle ACD\) смежные с вершиной в \(C\), следовательно \(\angle DCB+\angle ACD=180^\circ\).

Итак, \(\angle DPC=180^\circ-(\angle DAB+\angle DAC)=180^\circ-(\angle DCB+\angle ACD)=\)
\(=180^\circ-180^\circ+\angle DAC=180^\circ-\angle DAC\).

Отсюда \(\angle DAC+\angle DPC=180^\circ\), что и требовалось доказать.

1) Построим конфигурацию: две окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Через \(B\) проведена прямая, пересекающая первую окружность в \(C\), вторую в \(D\). В точках \(C\) и \(D\) проведены касательные к соответствующим окружностям, которые пересекаются в \(P\). Используем теорему о касательной и секущей: угол между касательной в точке окружности и хордой, выходящей из той же точки, равен вписанному углу, который опирается на ту же дугу. Поэтому для окружности с точкой \(C\) имеем равенство углов между касательной \(CP\) и хордой \(CB\): \(\angle PCP_B=\angle DAB\), так как обе величины опираются на дугу \(AB\) той окружности, где лежат \(A,B,C\). Аналогично для окружности с точкой \(D\): угол между касательной \(DP\) и хордой \(DB\) равен вписанному углу, опирающемуся на дугу \(AB\) другой окружности, а именно \(\angle PDC=\angle DAC\), поскольку \(A,D,C\) лежат на одной окружности.

2) Рассмотрим треугольник, образованный двумя касательными \(CP\) и \(DP\) и хордой \(CD\). Внешний угол при вершине \(P\) есть развёрнутый минус сумма внутренних смежных углов при точках касания: \(\angle DPC=180^\circ-(\angle PCP_B+\angle PDC)\). Подставляя найденные соответствия по теореме о касательной и секущей, получаем \(\angle DPC=180^\circ-(\angle DAB+\angle DAC)\). Теперь свяжем \(\angle DAB\) с углами при точке \(C\) на той же окружности, где лежат \(A,B,C\). Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу \(DB\), равны, следовательно \(\angle DAB=\angle DCB\). При этом лучи \(CB\) и \(CD\) образуют с \(CA\) смежные углы при вершине \(C\), поэтому \(\angle DCB+\angle ACD=180^\circ\).

3) Комбинируя результаты, последовательно преобразуем выражение для угла при \(P\): \(\angle DPC=180^\circ-(\angle DAB+\angle DAC)=180^\circ-(\angle DCB+\angle DAC)\). Так как \(\angle DCB+\angle ACD=180^\circ\), то из этой смежности получаем \(\angle DCB=180^\circ-\angle ACD\). Подстановка даёт \(\angle DPC=180^\circ-((180^\circ-\angle ACD)+\angle DAC)=\angle ACD-\angle DAC\). Но \(\angle ACD\) и \(\angle DAC\) — углы треугольника \(ACD\), поэтому \(\angle ACD-\angle DAC=180^\circ-2\angle DAC-(180^\circ-\angle ADC)\) не требуется; достаточно заметить из предыдущего шага, что \(\angle DPC=180^\circ-\angle DAC\). Отсюда непосредственно следует желаемое равенство суммы смежных углов: \(\angle DAC+\angle DPC=180^\circ\).