ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольник \(ABC\) вписан ромб \(CDEF\) так, как показано на рисунке 22.2. Найдите сторону \(BC\) треугольника, если \(AC=15\) см, а сторона ромба равна 10 см.

Треугольники \(EBF\) и \(ABC\) подобны, так как стороны ромба \(EF=EB=BF=10\) параллельны сторонам треугольника.

По подобию: \( \frac{EF}{AC}=\frac{EB}{AB}=\frac{BF}{BC} \Rightarrow \frac{10}{15}=\frac{x}{x+10}\), где \(x=BF\) — часть стороны \(BC\).

Решим пропорцию: \(15x=10x+100 \Rightarrow 5x=100 \Rightarrow x=20\). Тогда \(BC=x+10=20+10=30\) см.

1. Ромб \(CDEF\) вписан так, что его стороны параллельны соответствующим сторонам треугольника \(ABC\): отрезок \(EF\) параллелен основанию \(AC\), а диагонали ромба делят треугольник на подобные меньшие треугольники. Поскольку у ромба все стороны равны, имеем \(EF=EB=BF=10\). По свойству параллельных сечений в треугольнике треугольник \(EBF\) получается подобным треугольнику \(ABC\), так как соответствующие углы равны: угол при вершине \(B\) общий, а углы у оснований совпадают благодаря параллельности сторон ромба сторонам треугольника.

2. Обозначим через \(x\) длину отрезка \(BF\), который является частью стороны \(BC\). Тогда вся сторона \(BC\) равна сумме отрезков \(BF\) и \(FC\), причём \(FC\) является стороной ромба и потому равно \(10\). Следовательно, \(BC=x+10\). По подобию треугольников \(EBF\) и \(ABC\) отношения соответствующих сторон равны: \(\frac{EF}{AC}=\frac{BF}{BC}\). Подставляя известные величины, получаем пропорцию \(\frac{10}{15}=\frac{x}{x+10}\).

3. Решим пропорцию методом перекрёстного умножения: \(15x=10(x+10)\). Раскрываем скобки: \(15x=10x+100\). Переносим \(10x\) в левую часть: \(15x-10x=100\), откуда \(5x=100\). Делим обе части на \(5\): \(x=20\). Возвращаемся к стороне треугольника: \(BC=x+10=20+10=30\) см. Таким образом, из подобия и параллельности сторон ромба треугольнику следует искомая длина основания \(BC\) равна \(30\) см.