ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.130 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD, которые пересекаются в точке M. Докажите, что прямая, содержащая высоту MK треугольника DMB, также содержит медиану треугольника CMA.

В окружности \(AB \perp CD\), пересечение \(M\). Пусть \(K\) — основание перпендикуляра из \(M\) на \(DB\) в треугольнике \(DMB\). Докажем, что прямая \(MK\) содержит медиану треугольника \(CMA\).

В окружности углы, опирающиеся на одну дугу, равны: \(\angle AMB\) опирается на дугу \(AB\), а \(\angle CMD\) — на дугу \(CD\). Так как \(AB \perp CD\), получаем \(\angle AMB=\angle CMD=90^\circ\). Следовательно, четырехугольник \(AMDC\) — прямоугольный в \(M\), а треугольники \(DMB\) и \(CMA\) являются равнобедренными с \(MD=MB\) и \(MC=MA\) как радиусы.

В равнобедренном треугольнике высота из вершины является и медианой. Поэтому в \(\triangle DMB\) прямая \(MK\) одновременно является высотой и медианой, то есть делит хорду \(DB\) пополам: \(DK=KB\). Аналогично, в \(\triangle CMA\) прямая, проходящая через \(M\) и делящая хорду \(CA\) пополам, является медианой.

Так как \(MD=MB\) и \(MC=MA\), точка \(M\) — середина отрезков, соединяющих равные радиусы, а перпендикуляр к \(DB\) через \(M\) совпадает с осью симметрии пары хорд \((DB,CA)\). Следовательно, одна и та же прямая \(MK\), будучи перпендикулярной \(DB\) и проходя через \(M\), является также серединным перпендикуляром к \(CA\), то есть содержит середину \(CA\). Значит, \(MK\) — медиана треугольника \(CMA\).

Рассмотрим окружность с перпендикулярными хордами \(AB\) и \(CD\), пересекающимися в точке \(M\). Так как вписанный угол равен половине центрального, углы, опирающиеся на диаметр или на перпендикулярные хорды, удобнее сравнивать по дугам. В частности, углы \(\angle AMB\) и \(\angle CMD\) опираются соответственно на дуги \(AB\) и \(CD\). При пересечении перпендикулярных хорд в точке \(M\) каждое из этих вписанных углов равно \(90^\circ\): \(\angle AMB=90^\circ\) и \(\angle CMD=90^\circ\). Отсюда следует, что прямые \(AM\) и \(BM\) взаимно перпендикулярны прямым \(CM\) и \(DM\). Кроме того, отрезки \(MA\), \(MB\), \(MC\), \(MD\) являются хордами, исходящими из одной точки \(M\). Поскольку равные вписанные углы опираются на равные дуги, а все соответствующие дуги симметричны относительно оси, проходящей через \(M\) и перпендикулярной одной из хорд, возникает осевая симметрия конфигурации: отражение относительно прямой, перпендикулярной \(DB\) в точке \(M\), переводит хорду \(DB\) сама в себя, а хорду \(CA\) — тоже в себя.

Построим высоту \(MK\) треугольника \(DMB\), где \(K\) — основание перпендикуляра из \(M\) на сторону \(DB\). Так как \(MK \perp DB\), прямая \(MK\) есть серединный перпендикуляр ко всем хордам окружности, для которых она выступает осью симметрии. В треугольнике \(DMB\) точки \(D\) и \(B\) лежат на окружности и симметричны относительно \(MK\), поскольку \(\angle DMB=180^\circ-\angle AMB-\angle CMD=180^\circ-90^\circ-90^\circ=0^\circ\), а значит, лучи \(MD\) и \(MB\) зеркально расположены относительно \(MK\). Следовательно, \(K\) — середина \(DB\), то есть выполняется равенство \(DK=KB\). Отсюда в треугольнике \(DMB\) прямая \(MK\) является не только высотой, но и медианой, что согласуется с известным свойством: в равнобедренном треугольнике высота из вершины одновременно является медианой и биссектрисой. Здесь равнобедренность относительно вершины \(M\) понимается как равенство углов \(\angle KMD\) и \(\angle KMB\) по построению перпендикуляра.

Перейдём к треугольнику \(CMA\). Рассмотрим действие той же осевой симметрии относительно прямой \(MK\). Так как \(AM \perp CM\) и эти лучи образуют прямой угол при \(M\), отражение относительно \(MK\) переставляет лучи \(MA\) и \(MC\) местами. Это значит, что точки \(A\) и \(C\) также симметричны относительно \(MK\), а следовательно, \(MK\) является перпендикуляром к хорде \(AC\) в её середине. Иначе говоря, прямая \(MK\) пересекает \(AC\) в точке \(N\) так, что \(AN=NC\) и \(MK \perp AC\). В окружности серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр, однако нам важно, что в треугольнике \(CMA\) точка \(N\) — середина стороны \(CA\). Поскольку медиана по определению проходит через вершину \(M\) и середину противоположной стороны, то отрезок \(MN\) есть медиана треугольника \(CMA\). Но \(MN\) лежит на той же прямой, что и высота \(MK\), то есть на \(MK\).

Итак, одна и та же геометрическая прямая \(MK\), будучи осью симметрии пары лучей \(MD\) и \(MB\), одновременно является осью симметрии пары лучей \(MA\) и \(MC\). Отсюда немедленно следует двойное свойство: в треугольнике \(DMB\) она выступает как высота и медиана, а в треугольнике \(CMA\) проходит через середину стороны \(CA\), то есть является медианой. Следовательно, прямая, содержащая высоту \(MK\) треугольника \(DMB\), также содержит медиану треугольника \(CMA\), что и требовалось доказать.