ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.131 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 На одной из сторон угла с вершиной в точке M выбраны точки A и B, а на другой стороне — точки C и D так, что \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\). Докажите, что точки A, B, C и D принадлежат одной окружности.

Рассмотрим точки A и B на одной стороне угла с вершиной M и точки C и D на другой стороне так, что выполняется равенство \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\).

По свойству степени точки относительно окружности: если из точки M проведены две секущие к окружности, то произведения отрезков равны. Обратное верно: если для четырех точек на двух лучах из M выполняется \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\), то существует окружность, для которой M имеет одинаковую степень по обеим секущим.

Значит, можно построить окружность, проходящую через точки A и B (по двум точкам окружность единственна); так как \(MA \cdot MB\) равно степени точки M относительно этой окружности, то равенство \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\) показывает, что C и D лежат на той же окружности.

Следовательно, точки A, B, C и D принадлежат одной окружности.

Пусть дан угол с вершиной в точке M, на одной его стороне выбраны точки A и B, на другой стороне — точки C и D, причём выполняется равенство \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\). Рассмотрим окружность, проходящую через точки A и B: она существует и единственна, так как любые две непересекающиеся точки определяют семейство окружностей, а требование «через A и B» фиксирует одну окружность с центром на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Для этой окружности определим степень точки M: по определению степени точки относительно окружности, если из точки M проведена секущая, пересекающая окружность в точках X и Y, то степень равна произведению длин отрезков \(MX \cdot MY\). В нашем случае для секущей через A и B имеем степень точки M равную \(MA \cdot MB\).

Теперь рассмотрим вторую секущую из точки M, пересекающую другую сторону угла в точках C и D. Если точки C и D лежат на той же окружности, то по тому же определению степени точки M относительно этой окружности произведение \(MC \cdot MD\) обязано совпадать со степенью точки M. Заданное условие \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\) показывает, что степень точки M, вычисленная по секущей \(MAB\), совпадает со значением произведения по секущей \(MCD\). Но степень точки M относительно фиксированной окружности — величина, не зависящая от выбора секущей: для любой пары точек пересечения этой окружности с произвольной секущей из M произведение соответствующих отрезков равно одной и той же константе (степени). Следовательно, если \(MA \cdot MB\) уже задаёт степень точки M относительно окружности через A и B, то равенство \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\) означает, что точки C и D дают ту же степень, то есть C и D также лежат на этой окружности.

Уточним ключевой логический шаг. Обратное утверждение к теореме о степени точки формулируется так: если из точки M проведены две секущие, дающие одинаковое произведение длин отрезков до точек пересечения, то существует окружность, для которой обе пары точек лежат на ней. В нашем случае первая пара \(A, B\) уже размещена на некоторой окружности, и \(MA \cdot MB\) есть её степень из M; равенство с \(MC \cdot MD\) говорит, что секущая через C и D даёт ту же степень, а значит пересекает ту же окружность. Итак, точки A, B, C и D принадлежат одной окружности, что и требовалось доказать.