ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.132 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Известно, что M — точка пересечения отрезков AB и CD, \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\). Докажите, что точки A, B, C и D принадлежат одной окружности.

Пусть M — точка пересечения отрезков AB и CD, причём выполнено \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\). Рассмотрим лучи из M к точкам A, B и к точкам C, D. По теореме о степени точки относительно окружности: для любой окружности произведение отрезков секущей из M, пересекающей эту окружность в двух точках, постоянно и равно степени точки M. Если провести окружность через A и B, то степень точки M относительно этой окружности равна \(MA \cdot MB\).

Так как по условию \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\), то произведение для секущей через C и D совпадает с той же постоянной величиной степени точки M относительно окружности через A и B. Следовательно, секущая \(MCD\) пересекает ту же окружность, то есть точки C и D лежат на окружности, проходящей через A и B.

Итак, точки A, B, C и D принадлежат одной окружности, поскольку обе секущие из точки M дают одинаковое произведение отрезков, равное степени точки M относительно единственной окружности, проходящей через A и B.

Пусть M — точка пересечения отрезков AB и CD, задано равенство \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\). Рассмотрим окружность, проходящую через точки A и B: она единственна, так как множество центров таких окружностей лежит на серединном перпендикуляре к AB, а выбор радиуса, равного \(\frac{AB}{2\sin(\angle AMB)}\), фиксируется геометрически секущей \(MAB\). Степень точки M относительно этой окружности определяется так: для любой секущей из M, пересекающей окружность в двух точках X и Y, произведение \(MX \cdot MY\) постоянно и равно одной и той же величине, называемой степенью точки M. В частности, для секущей, проходящей через A и B, получаем, что степень точки M равна \(MA \cdot MB\). Это не зависит от того, как именно секущая из M пересекает окружность: свойство степени гарантирует постоянство произведения отрезков для всех возможных секущих из M к данной окружности.

Теперь посмотрим на отрезок CD, также проходящий через точку M и пересекающий вторую сторону угла в точках C и D. По условию выполнено равенство \(MC \cdot MD = MA \cdot MB\). Поскольку \(MA \cdot MB\) уже есть степень точки M относительно окружности через A и B, то равенство показывает, что секущая \(MCD\) даёт то же самое значение степени точки M. А это означает, что точки C и D лежат на той же окружности, что и A и B, ведь для одной фиксированной окружности все секущие из M имеют одинаковое произведение отрезков до точек пересечения. Формально: если из одной точки M проведены две секущие, пересекающие некоторую окружность в парах точек \((A,B)\) и \((C,D)\), то выполняется \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\); обратное рассуждение также верно: если для двух секущих из M произведения равны, то обе пары точек лежат на одной окружности, определяемой первой парой.

Дополнительно отметим связь с подобием треугольников, часто используемую в задачах типа той, что на фото. Пусть лучи угла пересекают окружность, и секущие \(MAB\) и \(MCD\) образуют пары хорд. Тогда равенство \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\) интерпретируется как равенство степеней точки M, что эквивалентно тому, что соответствующие углы между секущими, опирающимися на равные произведения, переносятся на одну и ту же окружность. Через подобие треугольников \( \triangle MAB \) и \( \triangle MCD \) по равенству отношений отрезков на пересекающихся хорд можно также прийти к тому, что дуги, на которые они опираются, принадлежат одной окружности. Следовательно, из условия \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\) неизбежно следует, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.