ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.133 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку P, принадлежащую отрезку AB, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности. Докажите, что точки K, L, M и N лежат на одной окружности.

Рассмотрим пересекающиеся окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) с точками пересечения \(A\) и \(B\). Пусть \(P\in AB\), через \(P\) проведены хорды \(KM\subset\omega_1\) и \(LN\subset\omega_2\).

По теореме о секущей в круге: \((PA\cdot PB)\) есть мощность точки \(P\) относительно каждой из окружностей. Следовательно, для первой окружности \((PK\cdot PM=PA\cdot PB)\), а для второй \((PL\cdot PN=PA\cdot PB)\). Отсюда \((PK\cdot PM=PL\cdot PN)\).

По обратной теореме о степенной оси (или по признаку цикличности четырёх точек): если для точек \(K,M,L,N\) относительно одной точки \(P\) выполняется \((PK\cdot PM=PL\cdot PN)\), то эти четыре точки лежат на одной окружности.

Итак, \(\{K,L,M,N\}\) — циклическое множество; следовательно, точки \(K,L,M,N\) лежат на одной окружности.

1) Пусть две окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Возьмём точку \(P\) на отрезке \(AB\). Через \(P\) проведём хорду \(KM\) первой окружности и хорду \(LN\) второй окружности. Напомним определение мощности точки: для любой точки \(P\) относительно данной окружности значение произведения длин отрезков секущей из \(P\), пересекающей окружность в двух точках, постоянно. В частности, для секущей через \(P\), проходящей по хорде \(KM\) в первой окружности, выполняется равенство мощности \(PK\cdot PM=PA\cdot PB\), так как секущая через \(P\) в те же точки \(A\) и \(B\) также принадлежит первой окружности. Аналогично во второй окружности для хорды \(LN\) имеем \(PL\cdot PN=PA\cdot PB\). Эти две формулы вытекают из одного и того же факта: произведение отрезков любой секущей из \(P\) к данной окружности равно мощности \(P\) относительно этой окружности, а секущая через \(A\) и \(B\) даёт то же число \(PA\cdot PB\).

2) Из равенств мощности немедленно следует ключевое соотношение \(PK\cdot PM=PL\cdot PN\). Это тождество связывает четыре точки \(K,M,L,N\) через одну и ту же точку \(P\). Геометрически оно означает, что пары точек \(K,M\) и \(L,N\) имеют относительно \(P\) равные направленные произведения расстояний. Такое равенство является классическим критерием цикличности четырёх точек: если на плоскости существуют четыре точки и найдётся точка \(P\), для которой выполнено \(PK\cdot PM=PL\cdot PN\), то эти четыре точки лежат на одной окружности. Доказать этот признак можно, например, так: через тройку точек \(K,M,L\) всегда проходит единственная окружность; тогда равенство \(PK\cdot PM=PL\cdot PN\) эквивалентно тому, что \(N\) имеет ту же мощность относительно окружности \((KML)\), что и \(L\). Но мощность точки относительно фиксированной окружности однозначно задаёт множество точек с данной мощностью как радикальную окружность или пару секущих; поскольку \(L\) лежит на окружности \((KML)\), его мощность равна нулю, значит и мощность \(N\) равна нулю, то есть \(N\) также лежит на этой окружности. Более прямой путь: из \(PK\cdot PM=PL\cdot PN\) следует равенство ориентированных углов \(\angle KPM=\angle LPN\) как углов между парами хорд равной мощности, а равенство вписанных углов, стоящих на одной дуге, подтверждает общую окружность.

3) Завершим вывод аккуратной связкой утверждений. Так как \(PA\cdot PB\) является мощностью точки \(P\) для обеих окружностей, то \(PK\cdot PM=PA\cdot PB\) и \(PL\cdot PN=PA\cdot PB\). Следовательно, \(PK\cdot PM=PL\cdot PN\). Применяя признак цикличности четырёх точек по равенству произведений отрезков из одной точки, заключаем, что точки \(K,L,M,N\) лежат на одной окружности. Таким образом, любая пара хорд, проходящих через одну и ту же точку \(P\) на линии центров пересечения \(AB\), образует с концами этих хорд единую окружность, что и требовалось доказать.