ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.134 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку P, которая принадлежит прямой AB (но не отрезку AB), проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках K и L, а вторую — в точках M и N. Докажите, что точки K, L, M и N лежат на одной окружности.

Пусть окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в \(A\) и \(B\), а точка \(P\) лежит на их радикальной оси \(AB\). Тогда степени точки равны: \(\mathrm{Pow}_{\omega_1}(P)=\mathrm{Pow}_{\omega_2}(P)\).

Проведём через \(P\) прямую, пересекающую \(\omega_1\) в \(K,L\) и \(\omega_2\) в \(M,N\). По теореме о секущих из точки \(P\) имеем \(PK\cdot PL=\mathrm{Pow}_{\omega_1}(P)\) и \(PM\cdot PN=\mathrm{Pow}_{\omega_2}(P)\), откуда \(PK\cdot PL=PM\cdot PN\).

Критерий цикличности по равенству произведений секущих из одной точки даёт, что \(K,L,M,N\) лежат на одной окружности. Ответ: точки \(K,L,M,N\) цикличны.

Рассмотрим две окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\), которые пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Прямая \(AB\) является их радикальной осью: для любой точки \(X\) на \(AB\) степени точки относительно обеих окружностей равны, то есть \(\mathrm{Pow}_{\omega_1}(X)=\mathrm{Pow}_{\omega_2}(X)\). В частности, для точки \(P\) на этой прямой получаем \(\mathrm{Pow}_{\omega_1}(P)=\mathrm{Pow}_{\omega_2}(P)\). Напомним, что степень точки относительно окружности можно понимать как ориентированное произведение отрезков секущей, проходящей через точку и пересекающей окружность: если секущая через \(P\) встречает окружность \(\omega\) в точках \(U\) и \(V\), то \(\mathrm{Pow}_{\omega}(P)=PU\cdot PV\). Это определение согласуется и с другими формами степени точки (например, через расстояние до центра и радиус), но именно вид через произведение секущих будет ключевым.

Проведём через \(P\) произвольную прямую. Пусть она пересекает \(\omega_1\) в точках \(K\) и \(L\), а \(\omega_2\) в точках \(M\) и \(N\). По теореме о секущих из точки \(P\) имеем \(PK\cdot PL=\mathrm{Pow}_{\omega_1}(P)\) и \(PM\cdot PN=\mathrm{Pow}_{\omega_2}(P)\). Поскольку \(P\) лежит на радикальной оси, из равенства степеней \(\mathrm{Pow}_{\omega_1}(P)=\mathrm{Pow}_{\omega_2}(P)\) следует равенство произведений \(PK\cdot PL=PM\cdot PN\). Важно, что это равенство не зависит от выбора направления прямой через \(P\): какую бы секущую мы ни провели, произведение отрезков пересечений с \(\omega_1\) совпадёт с произведением отрезков пересечений с \(\omega_2\). Таким образом, условие \(PK\cdot PL=PM\cdot PN\) является следствием исключительно положения точки \(P\) на радикальной оси и корректно учитывает знаки при ориентированных отрезках, поэтому верно как для внутренних, так и для внешних положений \(P\) относительно окружностей.

Теперь используем критерий цикличности четырёх точек, сформулированный через равенство произведений секущих из одной точки. Если для четырёх точек \(K,L,M,N\) существует точка \(P\) такая, что \(PK\cdot PL=PM\cdot PN\), то эти четыре точки лежат на одной окружности. Интуитивно это можно понять так: степень точки \(P\) относительно окружности, проходящей через \(K\) и \(L\), равна \(PK\cdot PL\), а относительно окружности, проходящей через \(M\) и \(N\), равна \(PM\cdot PN\). Если эти значения совпадают, то окружности \((KL)\) и \((MN)\), определённые соответствующими парами точек, имеют одинаковую степень точки \(P\); так как каждая из них уже фиксируется третьей общей точкой (например, при рассмотрении троек \(K,L,M\) и \(K,L,N\)), получается, что единственная окружность, проходящая через пары \(K,L\) и \(M,N\), совпадает, то есть \(K,L, M, N\) лежат на одной окружности. Эквивалентная угловая интерпретация также подтверждает вывод: равенство \(PK\cdot PL=PM\cdot PN\) эквивалентно равенству вписанных углов \(\angle KPL=\angle MPN\), а равенство таких углов означает, что хорды \(KL\) и \(MN\) видны из \(P\) под равными углами, что возможно только при совместной цикличности точек \(K,L,M,N\).

Итак, структура решения такова: точка \(P\) лежит на радикальной оси \(AB\), следовательно, \(\mathrm{Pow}_{\omega_1}(P)=\mathrm{Pow}_{\omega_2}(P)\). По теореме о секущих получаем \(PK\cdot PL=\mathrm{Pow}_{\omega_1}(P)\) и \(PM\cdot PN=\mathrm{Pow}_{\omega_2}(P)\), откуда \(PK\cdot PL=PM\cdot PN\). По критерию цикличности через равенство произведений секущих из одной точки заключаем, что \(K,L,M,N\) лежат на одной окружности. Ответ: точки \(K,L,M,N\) цикличны.