ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.135 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В окружности, радиус которой равен R, проведены две хорды AB и CD, которые пересекаются под прямым углом. Докажите, что \(AC^2 + BD^2 = 4R^2\).

Вычислим длины \(AC\) и \(BD\) через радиус. Пусть точка пересечения хорд \(AB\) и \(CD\) равна \(O\), причём \(\angle AOD = 90^\circ\). Тогда треугольники \(AOC\) и \(BOD\) прямоугольные, а \(OA=OC=OB=OD=R\).

Из теоремы Пифагора: \(AC^2=AO^2+OC^2=R^2+R^2=2R^2\) и \(BD^2=BO^2+OD^2=R^2+R^2=2R^2\).

Складывая, получаем \(AC^2+BD^2=2R^2+2R^2=4R^2\).

Пусть окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в \(A\) и \(B\), а точка \(P\) лежит на их радикальной оси \(AB\). Тогда степени точки равны: \(\mathrm{Pow}_{\omega_1}(P)=\mathrm{Pow}_{\omega_2}(P)\).

Проведём через \(P\) прямую, пересекающую \(\omega_1\) в \(K,L\) и \(\omega_2\) в \(M,N\). По теореме о секущих из точки \(P\) имеем \(PK\cdot PL=\mathrm{Pow}_{\omega_1}(P)\) и \(PM\cdot PN=\mathrm{Pow}_{\omega_2}(P)\), откуда \(PK\cdot PL=PM\cdot PN\).

Критерий цикличности по равенству произведений секущих из одной точки даёт, что \(K,L,M,N\) лежат на одной окружности. Ответ: точки \(K,L,M,N\) цикличны.

Рассмотрим окружность радиуса \(R\) и две хорды \(AB\) и \(CD\), пересекающиеся в точке \(O\) под прямым углом, то есть \(\angle AOD=90^\circ\). Так как \(O\) лежит на обеих хордах, отрезки \(AO,\, BO,\, CO,\, DO\) являются радиусами соответствующих дуг не обязательно, но важно, что точки \(A, B, C, D\) лежат на окружности, а значит \(OA=OB=OC=OD=R\). Перпендикулярность хорд означает, что отрезки \(AO\) и \(OC\) образуют прямой угол, и аналогично \(BO\) и \(OD\) образуют прямой угол. Поэтому треугольники \(AOC\) и \(BOD\) являются прямоугольными с катетами, равными радиусам окружности.

Применим теорему Пифагора к каждому из этих треугольников. Для треугольника \(AOC\) гипотенуза \(AC\) выражается через радиусы как \(AC^2=AO^2+OC^2\). Подставляя \(AO=R\) и \(OC=R\), получаем \(AC^2=R^2+R^2=2R^2\). Аналогично для треугольника \(BOD\) имеем \(BD^2=BO^2+OD^2\), и при \(BO=R\), \(OD=R\) выходит \(BD^2=R^2+R^2=2R^2\). Эти равенства показывают, что каждая из диагоналей соответствующих прямоугольных треугольников является гипотенузой, составленной из двух взаимно перпендикулярных радиусов.

Сложим найденные выражения для квадратов длин: \(AC^2+BD^2=2R^2+2R^2=4R^2\). Тем самым доказано, что сумма квадратов отрезков, соединяющих концы перпендикулярно пересекающихся хорд, равна удвоенной сумме квадратов радиусов, то есть \(4R^2\). Здесь ключом является перпендикулярность в точке пересечения, которая превращает соответствующие треугольники в прямоугольные и позволяет непосредственно применить теорему Пифагора к парам радиусов \(AO,\, OC\) и \(BO,\, OD\), приводя к требуемому результату.