ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.136 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На диаметре AB окружности с центром O отметили точки M и N так, что \(MO = ON\). Пусть X — произвольная точка данной окружности. Докажите, что сумма \(XM^2 + XN^2\) не зависит от выбора точки X.

Для произвольной точки \(X\) на окружности с центром \(O\) и диаметром \(AB\) применим теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках \(XMO\) и \(XNO\) (так как \(\angle XOA = 90^\circ\), радиус \(OX\) перпендикулярен диаметру \(AB\)).

\(XM^2 = MO^2 + OX^2\), \(XN^2 = ON^2 + OX^2\).

Складывая, получаем: \(XM^2 + XN^2 = MO^2 + ON^2 + 2OX^2\).

По условию \(MO = ON\), значит \(MO^2 + ON^2 = 2MO^2\). Радиус \(OX = R\) постоянен. Тогда
\(XM^2 + XN^2 = 2MO^2 + 2R^2\),

что есть постоянная величина и не зависит от выбора точки \(X\).

Рассмотрим окружность с центром \(O\) и диаметр \(AB\). Точки \(M\) и \(N\) лежат на диаметре так, что \(MO=ON\). Пусть \(X\) — произвольная точка окружности. Векторно-геометрический факт: для любой хорды, проведённой от точки окружности, радиус \(OX\) перпендикулярен диаметру \(AB\), следовательно, треугольники \(XMO\) и \(XNO\) прямоугольные с прямыми углами при \(O\). Это даёт возможность применить теорему Пифагора к каждому из этих треугольников, связывая длины \(XM\), \(XN\) с отрезками \(MO\), \(ON\) и радиусом \(OX\).

По теореме Пифагора для треугольника \(XMO\) имеем \(XM^{2}=MO^{2}+OX^{2}\), а для треугольника \(XNO\) имеем \(XN^{2}=ON^{2}+OX^{2}\). Эти равенства верны, поскольку гипотенузы — стороны, соединяющие \(X\) с \(M\) или \(N\), а катеты — отрезки от центра \(O\) к точкам \(M\), \(N\) на диаметре и радиус к точке \(X\). Складывая полученные равенства, получаем суммирование квадратов длин: \(XM^{2}+XN^{2}=(MO^{2}+OX^{2})+(ON^{2}+OX^{2})=MO^{2}+ON^{2}+2OX^{2}\). Здесь мы просто сгруппировали одинаковые слагаемые, подчеркнув, что вклад радиуса появляется дважды.

Используем условие \(MO=ON\), откуда \(MO^{2}+ON^{2}=MO^{2}+MO^{2}=2MO^{2}\). При этом длина радиуса \(OX\) для любой точки \(X\) на окружности равна радиусу \(R\), то есть \(OX=R\), поэтому \(2OX^{2}=2R^{2}\) — постоянное число, не зависящее от выбора точки \(X\). Подставляя, получаем ключевое выражение: \(XM^{2}+XN^{2}=2MO^{2}+2R^{2}\). Правая часть является константой, так как \(MO\) фиксирован по условию расположения точек на диаметре и \(R\) — фиксированный радиус окружности. Следовательно, величина \(XM^{2}+XN^{2}\) не зависит от выбора точки \(X\) на окружности.