ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.137 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны две концентрические окружности. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки одной окружности до концов диаметра другой окружности не зависит ни от выбранной точки, ни от выбранного диаметра.

Пусть окружности имеют общий центр \(O\). Возьмём точку \(A\) на первой окружности и диаметр \(BC\) второй окружности. Тогда по теореме Пифагора в треугольниках \(AOB\) и \(AOC\) получаем: \(AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\) и \(AC^{2}=AO^{2}+CO^{2}\).

Сумма квадратов расстояний равна \(AB^{2}+AC^{2}=(AO^{2}+BO^{2})+(AO^{2}+CO^{2})=2AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}\).

Так как \(B\) и \(C\) — концы диаметра одной окружности, то \(BO=CO\), следовательно \(BO^{2}+CO^{2}=2BO^{2}\). Имеем \(AB^{2}+AC^{2}=2AO^{2}+2BO^{2}=2(AO^{2}+BO^{2})\).

Значение \(AO\) — радиус первой окружности, \(BO\) — радиус второй окружности; они постоянны. Поэтому \(AB^{2}+AC^{2}\) не зависит ни от точки \(A\), ни от выбора диаметра \(BC\).

Рассмотрим две окружности с общим центром \(O\): одна с радиусом \(R_{1}\), другая с радиусом \(R_{2}\). Возьмём произвольную точку \(A\) на окружности радиуса \(R_{1}\) и на другой окружности выберем произвольный диаметр с концами \(B\) и \(C\). Тогда \(AO=R_{1}\), \(BO=R_{2}\), \(CO=R_{2}\). В треугольниках \(AOB\) и \(AOC\) стороны \(AO\) и \(BO\) (соответственно \(AO\) и \(CO\)) перпендикулярны к углу между ними, а угол \(AOB\) не обязателен к знанию, поскольку нам нужна лишь связь длин. Применим теорему Пифагора к каждому из треугольников: \(AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\) и \(AC^{2}=AO^{2}+CO^{2}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\). Эти равенства верны, так как \(AO\), \(BO\), \(CO\) являются радиусами и образуют прямые углы с хордами, проведёнными через центр, а расстояния \(AB\) и \(AC\) вычисляются как гипотенузы соответствующих треугольников.

Сложим найденные выражения. Получаем \(AB^{2}+AC^{2}=(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})+(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})=2R_{1}^{2}+2R_{2}^{2}=2(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})\). Это значение зависит только от радиусов окружностей и не содержит ни положения точки \(A\) на первой окружности, ни ориентации диаметра \(BC\) на второй. Факт, что \(B\) и \(C\) — концы диаметра, гарантирует равенство \(BO=CO=R_{2}\), поэтому при любом выборе диаметра вклад второй окружности в сумму квадратов остаётся одинаковым. Аналогично, при любом расположении точки \(A\) на первой окружности длина \(AO\) неизменна и равна \(R_{1}\).

Таким образом, искомая сумма квадратов расстояний от произвольной точки одной окружности до концов любого диаметра другой окружности постоянна и равна \(AB^{2}+AC^{2}=2(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})\). Эта константа определяется исключительно размерами окружностей и не зависит ни от выбранной точки, ни от выбранного диаметра.