ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.138 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Вершинами треугольника являются точки A \((-3; 1)\), B \((2; -2)\) и C \((-4; 6)\). Найдите медиану AM треугольника АВС.

Чтобы найти медиану AM, сначала определим середину стороны BC.

— Точки: B(2; −2), C(−4; 6)
— Середина M: \[x_M = \frac{2 + (-4)}{2} = -1,\quad y_M = \frac{-2 + 6}{2} = 2\]
— Значит, M(−1; 2)

Вектор AM: \[\overrightarrow{AM} = M — A = (-1 — (-3),\ 2 — 1) = (2,\ 1)\]

Длина медианы AM: \[|AM| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\]

Ответ: \[\sqrt{5}\]

Медиана треугольника из вершины \(A\) — это отрезок, соединяющий вершину \(A(-3;1)\) с серединой противоположной стороны \(BC\). Чтобы найти координаты середины \(M\) стороны \(BC\), берём полусуммы соответствующих координат точек \(B(2;-2)\) и \(C(-4;6)\): \(x_M=\frac{2+(-4)}{2}=\frac{-2}{2}=-1\), \(y_M=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2\). Следовательно, середина \(M\) имеет координаты \(M(-1;2)\). Таким образом, медиана \(AM\) — это отрезок, соединяющий точки \(A(-3;1)\) и \(M(-1;2)\), а направление этой медианы задаётся вектором \(\overrightarrow{AM}\).

Вычислим вектор \(\overrightarrow{AM}\) как разность координат конечной точки \(M\) и начальной точки \(A\): \(\overrightarrow{AM}=(x_M — x_A,\ y_M — y_A)=((-1)-(-3),\ 2-1)=(2,\ 1)\). Это означает, что при движении от \(A\) к \(M\) мы смещаемся на \(2\) единицы по оси \(x\) и на \(1\) единицу по оси \(y\). Параметрическое уравнение прямой, содержащей медиану, записывается как \((x,y)=(-3,1)+t\,(2,1)\), где \(t\) — параметр, а сама медиана как отрезок соответствует значениям \(t\) из интервала \(0\le t\le 1\). Точечная проверка: при \(t=0\) получаем точку \(A(-3;1)\), при \(t=1\) получаем точку \(M(-1;2)\), что подтверждает корректность записи.

Длина медианы \(AM\) находится по формуле длины вектора \(\overrightarrow{AM}\): \(|AM|=\sqrt{(2)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\). Этот результат логичен, поскольку длина отрезка между точками \(A(-3;1)\) и \(M(-1;2)\) равна корню из суммы квадратов приращений по осям. Итак, искомая медиана имеет координатное направление \((2,1)\), проходит через точки \(A\) и \(M\), а её длина равна \(\sqrt{5}\). Ответ: \(\sqrt{5}\).