ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.139 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Четырёхугольник ABCD — параллелограмм, B \((4; 1)\), C \((-1; 1)\), D \((-2; -2)\). Найдите координаты вершины A.

A разность координат противоположных вершин параллелограмма одинакова: \( \vec{AB}=\vec{DC} \). Пусть \(A(x,y)\). Тогда из \(B(4,1)\) и \(D(-2,-2)\), \(C(-1,1)\) имеем: \(B-A = C-D\).

\( (4-x,\;1-y) = (-1-(-2),\;1-(-2)) = (1,3) \Rightarrow 4-x=1,\;1-y=3 \).

\( x=3,\; y=-2 \).

Ответ: \(A(3,-2)\).

В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, поэтому вектор от вершины \(A\) к вершине \(B\) равен вектору от вершины \(D\) к вершине \(C\): \( \vec{AB}=\vec{DC} \). Пусть искомая вершина \(A(x,y)\). Тогда координатная запись равенства векторов такова: \(B-A=C-D\). Это означает, что разности соответствующих координат одинаковы: \( (4-x,\;1-y)=(\,(-1)-(-2),\;1-(-2)\,) \).

Вычислим правую часть покоординатно: \( (-1)-(-2)=1 \) и \( 1-(-2)=3 \). Получаем систему уравнений из равенства векторов: \( 4-x=1 \) и \( 1-y=3 \). Решим её по каждому неизвестному: из \( 4-x=1 \) находим \( x=3 \); из \( 1-y=3 \) находим \( y=-2 \). Эти значения одновременно удовлетворяют обеим координатным равенствам, значит вершина \(A\) определена корректно.

Проверим полученный результат через правило диагоналей параллелограмма: середины диагоналей совпадают. Середина \(BD\) имеет координаты \( \left(\frac{4+(-2)}{2},\frac{1+(-2)}{2}\right)=(1,-\frac{1}{2}) \). Середина \(AC\) при \(A(3,-2)\) и \(C(-1,1)\) равна \( \left(\frac{3+(-1)}{2},\frac{-2+1}{2}\right)=(1,-\frac{1}{2}) \). Совпадение подтверждает найденные координаты. Ответ: \(A(3,-2)\).