ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина стороны \(AB\) треугольника \(ABC\), точка \(K\) — середина стороны \(AC\). Площадь треугольника \(AMK\) равна 12 см\(^2\). Чему равна площадь четырёхугольника \(BMKC\)?

Треугольник \(AMK\) подобен треугольнику \(ABC\), так как \(MK\) — средняя линия: \(AM=\frac{AB}{2}\), \(AK=\frac{AC}{2}\), следовательно коэффициент подобия равен \(\frac{1}{2}\), а отношение площадей \(\frac{S_{AMK}}{S_{ABC}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\). Тогда \(S_{ABC}=\frac{S_{AMK}}{1/4}= \frac{12}{1/4}=48\) см\(^2\).

Площадь четырёхугольника \(BMKC\) равна разности площадей всего треугольника и треугольника \(AMK\): \(S_{BMKC}=S_{ABC}-S_{AMK}=48-12=36\) см\(^2\).

1) Так как точка \(M\) — середина стороны \(AB\), а точка \(K\) — середина стороны \(AC\), отрезок \(MK\) является средней линией треугольника \(ABC\). Средняя линия соединяет середины двух сторон и параллельна третьей стороне, поэтому треугольники \(AMK\) и \(ABC\) подобны: у них углы при вершине \(A\) общие, а стороны \(AM\) и \(AK\) пропорциональны соответствующим сторонам \(AB\) и \(AC\). Поскольку \(AM=\frac{AB}{2}\) и \(AK=\frac{AC}{2}\), коэффициент подобия по линейным размерам равен \(\frac{1}{2}\). Для площадей подобие действует в квадрате коэффициента, следовательно \(\frac{S_{AMK}}{S_{ABC}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\). При известном \(S_{AMK}=12\) см\(^2\) находим площадь исходного треугольника: \(S_{ABC}=\frac{S_{AMK}}{1/4}=\frac{12}{1/4}=48\) см\(^2\).

2) Четырёхугольник \(BMKC\) получается из треугольника \(ABC\) удалением треугольника \(AMK\). Его площадь равна разности площадей: \(S_{BMKC}=S_{ABC}-S_{AMK}\). Подставляем найденные значения: \(S_{BMKC}=48-12=36\) см\(^2\).

3) Таким образом, ключевые шаги: установили среднюю линию \(MK\) и подобие \(AMK \sim ABC\) с коэффициентом \(\frac{1}{2}\); использовали квадратичную зависимость площадей \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\) для вычисления \(S_{ABC}=48\) см\(^2\); нашли требуемую площадь как разность \(S_{BMKC}=36\) см\(^2\).