ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.140 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите координаты точки, которая принадлежит оси ординат и равноудалена от точек C \((3; 2)\) и D \((1; -6)\).

Пусть искомая точка на оси ординат \(M(0;y)\). Тогда расстояния до \(C(3;2)\) и \(D(1;-6)\) равны:
\(\,MC=\sqrt{(0-3)^2+(y-2)^2}=\sqrt{9+(y-2)^2}\),
\(\,MD=\sqrt{(0-1)^2+(y+6)^2}=\sqrt{1+(y+6)^2}\).

Из условия \(MC=MD\). Возводим в квадрат и упрощаем:
\(9+(y-2)^2=1+(y+6)^2\).
\(9+y^2-4y+4=1+y^2+12y+36\).
\(13-4y=37+12y\Rightarrow -16y=24\Rightarrow y=-\frac{24}{16}=-\frac{3}{2}\).

Значит, точка \(M(0;-1{,}5)\).

1) Поскольку точка ищется на оси ординат, её абсцисса равна нулю, поэтому удобно сразу задать её координатами \(M(0;y)\). Формула расстояния между точками на координатной плоскости гласит, что если точки имеют координаты \(A(x_{1};y_{1})\) и \(B(x_{2};y_{2})\), то расстояние между ними равно \(AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\). Применим эту формулу к парам \((M,C)\) и \((M,D)\). Для точки \(C(3;2)\) получаем \(MC=\sqrt{(0-3)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{9+(y-2)^{2}}\), где сначала вычитаем координаты по \(x\) и возводим разность в квадрат \( (0-3)^{2}=9 \), затем делаем то же по \(y\): \( (y-2)^{2} \). Для точки \(D(1;-6)\) аналогично имеем \(MD=\sqrt{(0-1)^{2}+(y+6)^{2}}=\sqrt{1+(y+6)^{2}}\), где \( (0-1)^{2}=1 \), а по \(y\) разность \( y-(-6)=y+6 \), её квадрат равен \( (y+6)^{2} \). Условие равноудалённости означает, что расстояния равны: \(MC=MD\), то есть обе корневые величины совпадают.

2) Чтобы избавиться от корней и получить алгебраическое уравнение на \(y\), возведём обе части равенства \(MC=MD\) в квадрат, что корректно, поскольку обе стороны неотрицательны как длины. Получаем уравнение \(9+(y-2)^{2}=1+(y+6)^{2}\). Теперь раскроем квадраты двучленов по формулам \( (y-2)^{2}=y^{2}-4y+4 \) и \( (y+6)^{2}=y^{2}+12y+36 \). Подставляя, последовательно упрощаем левую часть: \(9+(y-2)^{2}=9+y^{2}-4y+4=y^{2}-4y+13\). Аналогично упрощаем правую часть: \(1+(y+6)^{2}=1+y^{2}+12y+36=y^{2}+12y+37\). В результате приходим к равенству \(y^{2}-4y+13=y^{2}+12y+37\). На этом этапе удобно сократить одинаковые квадратичные члены, вычитая \(y^{2}\) из обеих частей, чтобы получить линейное уравнение относительно \(y\): \(-4y+13=12y+37\).

3) Приведём подобные слагаемые, перенеся члены с \(y\) в левую часть, а свободные члены в правую: \(-4y-12y=37-13\), откуда \(-16y=24\). Делим обе части на \(-16\), получаем \(y=\frac{-24}{16}=-\frac{3}{2}\). Таким образом, координата \(y\) искомой точки на оси ординат равна \( -\frac{3}{2} \), а полные координаты точки \(M\) равны \(M(0;-1{,}5)\). Для проверки подставим найденное значение в выражения для расстояний: \(MC=\sqrt{9+\left(-\frac{3}{2}-2\right)^{2}}=\sqrt{9+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9+\frac{49}{4}}=\sqrt{\frac{85}{4}}=\frac{\sqrt{85}}{2}\) и \(MD=\sqrt{1+\left(-\frac{3}{2}+6\right)^{2}}=\sqrt{1+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1+\frac{81}{4}}=\sqrt{\frac{85}{4}}=\frac{\sqrt{85}}{2}\). Одинаковые значения расстояний подтверждают корректность решения и выполнение условия равноудалённости, следовательно, ответ \(M(0;-1{,}5)\) является верным и единственным для точки на оси ординат, удовлетворяющей заданному требованию.