ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.141 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите координаты точки, которая принадлежит оси абсцисс и равноудалена от точек A \((-1; 5)\) и B \((7; -3)\).

Пусть искомая точка \(M(x;0)\) лежит на оси \(Ox\). Тогда расстояния до \(A(-1;5)\) и \(B(7;-3)\) равны:
\(MA=\sqrt{(x+1)^2+5^2}\), \(MB=\sqrt{(x-7)^2+(-3)^2}\).

Так как \(MA=MB\), то:
\((x+1)^2+25=(x-7)^2+9\).

Раскроем скобки и решим:
\(x^2+2x+1+25=x^2-14x+49+9\),
\(2x+26=-14x+58\),
\(16x=32\),
\(x=2\).

Ответ: точка \(M(2;0)\).

1) Пусть искомая точка лежит на оси абсцисс, значит её координаты имеют вид \(M(x;0)\). Условие равноудалённости от точек \(A(-1;5)\) и \(B(7;-3)\) означает, что расстояния от \(M\) до \(A\) и до \(B\) равны. По формуле расстояния между точками в плоскости для любых \(P(x_{1};y_{1})\) и \(Q(x_{2};y_{2})\) используем выражение \(PQ=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\). Применим его к парам \((M,A)\) и \((M,B)\), учитывая, что у \(M\) ордината равна нулю.

2) Получаем расстояния: \(MA=\sqrt{(x-(-1))^{2}+(0-5)^{2}}=\sqrt{(x+1)^{2}+5^{2}}\) и \(MB=\sqrt{(x-7)^{2}+(0-(-3))^{2}}=\sqrt{(x-7)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{(x-7)^{2}+9}\). Условие равноудалённости записывается как \(MA=MB\). Чтобы избавиться от корней, возведём обе части уравнения в квадрат, что корректно, так как обе стороны неотрицательны: \((x+1)^{2}+25=(x-7)^{2}+9\).

3) Раскроем скобки и упростим, группируя одноимённые слагаемые: \((x+1)^{2}=x^{2}+2x+1\), \((x-7)^{2}=x^{2}-14x+49\). Тогда имеем \(x^{2}+2x+1+25=x^{2}-14x+49+9\). Сокращаем \(x^{2}\) по обе стороны и переносим оставшиеся члены: \(2x+26=-14x+58\). Складываем \(14x\) с обеих сторон: \(16x+26=58\). Вычитаем \(26\): \(16x=32\). Делим на \(16\): \(x=\frac{32}{16}=2\). Поскольку искомая точка лежит на оси абсцисс, её ордината равна нулю, следовательно, координаты точки \(M(2;0)\).

4) Проверка подстановкой подтверждает правильность результата: \(MA=\sqrt{(2+1)^{2}+25}=\sqrt{3^{2}+25}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\). Аналогично \(MB=\sqrt{(2-7)^{2}+9}=\sqrt{(-5)^{2}+9}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\). Так как \(MA=MB\), найденное значение удовлетворяет условию равноудалённости. Отсюда окончательный ответ: точка \(M(2;0)\).