ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.142 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Окружность задана уравнением \((x + 4)^2 + (y 1)^2 = 12\). Как расположена точка A \((-2; 3)\) относительно этой окружности?

Точка \(A(-2;3)\). Подставим в уравнение окружности \((x+4)^2+(y-1)^2=12\): получаем \((-2+4)^2+(3-1)^2=2^2+2^2=4+4=8\).

Так как \(8<12\), то расстояние от точки до центра меньше радиуса.

Следовательно, точка \(A\) находится внутри окружности.

Точка \(A(-2;3)\) и окружность \((x+4)^{2}+(y-1)^{2}=12\). Центр окружности находится в точке \((-4;1)\), так как уравнение имеет вид \((x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2}\), где \(x_{0}=-4\), \(y_{0}=1\), а радиус удовлетворяет \(R^{2}=12\), то есть \(R=\sqrt{12}\). Чтобы определить положение точки относительно окружности, вычислим квадрат расстояния от точки \(A\) до центра: подставим координаты в левую часть уравнения окружности.

Подстановка даёт \((-2+4)^{2}+(3-1)^{2}=2^{2}+2^{2}=4+4=8\). Эта величина равна \(d^{2}\), где \(d\) — расстояние от точки \(A\) до центра окружности. Сравним \(d^{2}\) с \(R^{2}\): имеем \(8\) и \(12\). Если \(d^{2}<R^{2}\), то расстояние \(d\) меньше радиуса \(R\), точка лежит внутри; если \(d^{2}=R^{2}\), точка на окружности; если \(d^{2}>R^{2}\), точка вне окружности. В нашем случае \(8<12\).

Следовательно, поскольку квадрат расстояния от точки \(A\) до центра меньше квадрата радиуса, точка \(A\) находится внутри окружности.