ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.143 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок MK, если M \((-3; 4)\), K \((5; 10)\).

Находим центр как середину диаметра: \(O\left(\frac{-3+5}{2},\frac{4+10}{2}\right)=\left(1,7\right)\).

Длина диаметра: \(MK=\sqrt{(5-(-3))^{2}+(10-4)^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=10\), радиус \(r=\frac{10}{2}=5\).

Уравнение окружности: \((x-1)^{2}+(y-7)^{2}=5^{2}=25\).

1. Сначала определим центр окружности как середину отрезка \(MK\), поскольку этот отрезок является диаметром. Для точки середины используем формулы среднего арифметического по координатам концов: \(x\)-координата центра равна \( \frac{x_{M}+x_{K}}{2}=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1\), \(y\)-координата равна \( \frac{y_{M}+y_{K}}{2}=\frac{4+10}{2}=\frac{14}{2}=7\). Следовательно, центр окружности имеет координаты \(O(1;7)\). Этот шаг критически важен: именно точка \(O\) задаёт сдвиг в уравнении окружности вида \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\), где \(a\) и \(b\) — координаты центра, а \(r\) — радиус.

2. Далее вычислим длину диаметра \(MK\) по формуле расстояния между точками в декартовой системе координат. Разность по \(x\): \(5-(-3)=8\). Разность по \(y\): \(10-4=6\). Тогда длина диаметра равна \( MK=\sqrt{(8)^{2}+(6)^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\). Радиус окружности — половина диаметра: \( r=\frac{MK}{2}=\frac{10}{2}=5\). Обратите внимание на корректную запись степеней: квадрат в формуле расстояния — это возведение в степень \(2\).

3. Теперь составим уравнение окружности с найденными параметрами. Подставляем координаты центра \(a=1\), \(b=7\) и радиус \(r=5\) в стандартную форму: \((x-1)^{2}+(y-7)^{2}=r^{2}\). Так как \(r^{2}=5^{2}=25\), получаем окончательный вид уравнения: \((x-1)^{2}+(y-7)^{2}=25\). Это уравнение описывает все точки плоскости, удалённые на расстояние \(5\) от центра \(O(1;7)\), и его параметры согласуются с тем, что отрезок \(MK\) является диаметром данной окружности.