ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.145 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Отрезок AM — медиана треугольника с вершинами в точках A \((-4; -2)\), B \((5; 3)\), и C \((-3; -7)\). Составьте уравнение прямой AM.

Найдём середину отрезка \(BC\): \(B(5,3)\), \(C(-3,-7)\). Тогда координаты середины \(M\) равны \(M\left(\frac{5+(-3)}{2},\,\frac{3+(-7)}{2}\right)=M(1,-2)\).

Составим уравнение прямой через точки \(A(-4,-2)\) и \(M(1,-2)\). Поскольку \(y\)-координаты равны, прямая горизонтальна: \(y=-2\).

Ответ: уравнение медианы \(AM\): \(y=-2\).

Сначала определим точку \(M\) как середину стороны \(BC\), поскольку медиана \(AM\) по определению выходит из вершины \(A\) и проходит через середину противоположной стороны. Пусть \(B(5,3)\) и \(C(-3,-7)\). Координаты середины находятся по формулам середины отрезка: \(x_M=\frac{x_B+x_C}{2}\) и \(y_M=\frac{y_B+y_C}{2}\). Тогда \(x_M=\frac{5+(-3)}{2}=\frac{2}{2}=1\), \(y_M=\frac{3+(-7)}{2}=\frac{-4}{2}=-2\). Следовательно, середина \(BC\) равна \(M(1,-2)\). Это гарантирует, что любая точка медианы \(AM\) должна лежать на прямой, проходящей через \(A(-4,-2)\) и \(M(1,-2)\).

Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через две точки \(A(x_A,y_A)\) и \(M(x_M,y_M)\). Общая точечно-угловая форма может быть получена через направление вектора \(\overrightarrow{AM}=(x_M-x_A,\;y_M-y_A)\). Подставим координаты: \(x_M-x_A=1-(-4)=5\) и \(y_M-y_A=-2-(-2)=0\). Вектор направления \(\overrightarrow{AM}=(5,0)\) имеет нулевую вертикальную компоненту, что означает отсутствие изменения координаты \(y\) при любом изменении \(x\). Следовательно, все точки прямой имеют одинаковое значение \(y\), совпадающее с \(y\)-координатой любой из точек \(A\) или \(M\), то есть \(y=-2\). Это уже даёт уравнение прямой в простейшем виде.

Проверим согласованность: подставим координаты обеих исходных точек в найденное уравнение. Для \(A(-4,-2)\) получаем \(y=-2\), верно. Для \(M(1,-2)\) также \(y=-2\), верно. Поскольку прямая горизонтальна (угловой коэффициент равен \(k=0\), так как \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0}{5}=0\)), то её каноническая запись остаётся неизменной для любого \(x\). Таким образом, окончательное уравнение медианы \(AM\) из вершины \(A\) в треугольнике с вершинами \(A(-4,-2)\), \(B(5,3)\), \(C(-3,-7)\) имеет вид \(y=-2\).