ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.146 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение прямой, проходящей через центры окружностей \((x 1)^2 + (y 6)^2 = 3\) и \((x + 1)^2 + y^2 = 7\).

Центры окружностей: у \( (x-1)^2+(y-6)^2=3 \) центр \(C_1(1,6)\); у \( (x+1)^2+y^2=7 \) центр \(C_2(-1,0)\).

Найдём уравнение прямой через \(C_1\) и \(C_2\). Уголовой коэффициент: \(k=\frac{6-0}{1-(-1)}=\frac{6}{2}=3\).

Точка \(C_1(1,6)\), потому уравнение: \(y-6=3(x-1)\).

Итог: \(y=3x+3\).

1) Определим центры окружностей по стандартной форме уравнения окружности \( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \), где центр \( (a,b) \). Для первой окружности \( (x-1)^2+(y-6)^2=3 \) получаем центр \( C_1(1,6) \), радиус равен \( \sqrt{3} \), но он нам не нужен для уравнения прямой. Для второй окружности \( (x+1)^2+y^2=7 \) удобно переписать как \( (x-(-1))^2+(y-0)^2=7 \), значит центр \( C_2(-1,0) \). Таким образом, прямая должна проходить через две точки \( (1,6) \) и \( (-1,0) \).

2) Найдём угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки, по формуле \( k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \). Подставляя \( (x_1,y_1)=(1,6) \) и \( (x_2,y_2)=(-1,0) \), имеем \( k=\frac{0-6}{-1-1}=\frac{-6}{-2}=3 \). Это означает, что на каждую единицу изменения \( x \) \( y \) изменяется на \( 3 \) единицы, то есть наклон прямой положительный и достаточно крутой. Проверка знаков важна: разность по \( y \) и разность по \( x \) обе отрицательные, поэтому их отношение положительно.

3) Запишем уравнение прямой в точечно-угловой форме \( y-y_1=k(x-x_1) \), берём точку \( (1,6) \) для удобства: \( y-6=3(x-1) \). Раскрываем скобки и приводим к общему виду: \( y-6=3x-3 \), далее переносим \( -6 \) вправо, получаем \( y=3x+3 \). Можно проверить подстановкой обеих точек: для \( x=1 \) имеем \( y=3\cdot 1+3=6 \), для \( x=-1 \) имеем \( y=3\cdot(-1)+3=0 \); обе пары удовлетворяют уравнению, значит прямая построена корректно.

Ответ: \( y=3x+3 \).