ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.147 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку A \((\sqrt{3}; 5)\) и образует с положительным направлением оси абсцисс угол \(60^\circ\).

Угол направления равен \(60^\circ\), значит угловой коэффициент \(k=\tan 60^\circ=\sqrt{3}\). Уравнение прямой: \(y=kx+b\).

Подставим точку \(A(\sqrt{3};5)\): \(5=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+b\Rightarrow 5=3+b\Rightarrow b=2\).

Ответ: \(y=\sqrt{3}\,x+2\).

1) Прямая задаётся уравнением вида \(y=kx+b\), где \(k\) — угловой коэффициент (тангенс угла наклона к положительному направлению оси \(Ox\)), а \(b\) — ордината точки пересечения прямой с осью \(Oy\). Поскольку угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс равен \(60^\circ\), получаем \(k=\tan 60^\circ=\sqrt{3}\). Это означает, что на каждый шаг по оси \(x\) значение \(y\) изменяется в \(\sqrt{3}\) раза, то есть линия имеет крутой положительный наклон.

2) Точка \(A(\sqrt{3};5)\) принадлежит искомой прямой, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению \(y=kx+b\). Подставим \(x=\sqrt{3}\) и \(y=5\) вместе с найденным \(k=\sqrt{3}\): \(5=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+b\). Так как \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\), получаем равенство \(5=3+b\). Отсюда находим свободный член: \(b=5-3=2\). Число \(2\) — это значение \(y\) в точке пересечения прямой с осью \(Oy\), то есть точка \((0;2)\) лежит на этой прямой.

3) Подставив найденные параметры в общий вид уравнения, окончательно записываем прямую: \(y=\sqrt{3}\,x+2\). Проверка: при \(x=\sqrt{3}\) имеем \(y=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+2=3+2=5\), что даёт точку \(A(\sqrt{3};5)\). Угол наклона сохранён, так как \(k=\tan 60^\circ=\sqrt{3}\). Следовательно, искомая прямая корректно проходит через заданную точку и образует требуемый угол с осью абсцисс: \(y=\sqrt{3}\,x+2\).