ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.149 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку P \((2; -5)\) и параллельна прямой \(y = -0{,}5x + 9\).

Коэффициент углового наклона параллельной прямой такой же, как у заданной: \(k=-0{,}5\). Общий вид: \(y=kx+b\Rightarrow y=-0{,}5x+b\).

Подставим координаты точки \(P(2;-5)\): \(-5=-0{,}5\cdot 2+b\Rightarrow -5=-1+b\Rightarrow b=-4\).

Ответ: \(y=-0{,}5x-4\).

Параллельные прямые в декартовой системе координат имеют одинаковый угловой коэффициент. Заданная прямая имеет вид \(y=-0{,}5x+9\), где угловой коэффициент равен \(k=-0{,}5\). Следовательно, искомая прямая, проходящая через точку \(P(2;-5)\) и параллельная данной, также должна иметь форму \(y=-0{,}5x+b\), поскольку сохраняется тот же наклон и меняется только свободный член \(b\), отвечающий за вертикальный сдвиг графика.

Чтобы найти \(b\), используем условие прохождения через точку \(P(2;-5)\). Подставим координаты точки в уравнение: \(-5=-0{,}5\cdot 2+b\). Вычислим произведение: \(-0{,}5\cdot 2=-1\). Тогда получаем равенство \(-5=-1+b\). Перенесем \(-1\) в левую часть или прибавим единицу к обеим частям: \(-5+1=b\). Отсюда следует, что \(b=-4\). Это значение определяет вертикальный сдвиг искомой прямой относительно исходной, при котором она проходит через указанную точку.

Подставим найденный свободный член в общий вид уравнения. Получаем искомое уравнение прямой: \(y=-0{,}5x-4\). Эта прямая имеет тот же наклон, что и \(y=-0{,}5x+9\) (то есть коэффициент \(-0{,}5\)), а её график расположен ниже на \(13\) единиц, поскольку разность свободных членов равна \(9-(-4)=13\). Проверка: подставим \(x=2\) в найденное уравнение и убедимся, что \(y=-5\). Действительно, \(y=-0{,}5\cdot 2-4=-1-4=-5\), значит условие прохождения через точку \(P(2;-5)\) выполнено, и ответ корректен.