ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(D\) — середина стороны \(AB\) треугольника \(ABC\), точка \(E\) — середина стороны \(BC\). Площадь четырёхугольника \(ADEC\) равна 27 см\(^2\). Чему равна площадь треугольника \(ABC\)?

Точки \(D\) и \(E\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), значит \(DE\) — средняя линия треугольника \(ABC\) и треугольник \(DBE\) подобен \(ABC\) с коэффициентом \( \frac{1}{2} \). Следовательно, площади подобных фигур соотносятся как квадраты коэффициентов: \(S_{DBE}=\frac{1}{4}S_{ABC}\).

Площадь четырёхугольника \(ADEC\) равна сумме площадей \(A D C\) и \(A E C\) и дополняет \(DBE\) до всего треугольника: \(S_{ABC}=S_{ADEC}+S_{DBE}=27+ \frac{1}{4}S_{ABC}\). Тогда \(S_{ABC}-\frac{1}{4}S_{ABC}=27\), откуда \( \frac{3}{4}S_{ABC}=27\) и \(S_{ABC}= \frac{27\cdot 4}{3}=36\).

Ответ: \(36\ \text{см}^2\).

1) Пусть \(D\) и \(E\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\). Тогда отрезок \(DE\) является средней линией: он параллелен стороне \(AC\) и равен её половине. При этом треугольник \(DBE\) получается как треугольник, лежащий между вершиной \(B\) и средней линией \(DE\). Из параллельности \(DE \parallel AC\) следует подобие треугольников \(DBE\) и \(ABC\), так как они имеют равные углы при вершине \(B\) и соответствующие углы при параллельных сторонах. Коэффициент подобия по линейным размерам равен \( \frac{1}{2} \), поскольку средняя линия делит высоты и все линейные элементы пополам. Следовательно, площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента: \(S_{DBE}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}S_{ABC}=\frac{1}{4}S_{ABC}\).

2) Разобьём площадь всего треугольника \(ABC\) на две части: площадь малого треугольника \(DBE\) над средней линией и площадь оставшейся фигуры под средней линией. Область под средней линией представляет собой четырёхугольник \(ADEC\) (состоящий из двух треугольников \(ADE\) и \(DEC\), прилегающих к стороне \(AC\)). По условию дана его площадь: \(S_{ADEC}=27\ \text{см}^{2}\). Тогда суммарная площадь всего треугольника равна сумме площадей указанных частей: \(S_{ABC}=S_{DBE}+S_{ADEC}\). Подставим найденное соотношение для \(S_{DBE}\): \(S_{ABC}=\frac{1}{4}S_{ABC}+27\).

3) Перенесём члены и решим получившееся линейное уравнение на \(S_{ABC}\). Вычтем \(\frac{1}{4}S_{ABC}\) из обеих частей: \(S_{ABC}-\frac{1}{4}S_{ABC}=27\). Левая часть равна \(\frac{3}{4}S_{ABC}\), так как \(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\). Отсюда получаем \(\frac{3}{4}S_{ABC}=27\). Домножим обе части на \(\frac{4}{3}\): \(S_{ABC}=27\cdot\frac{4}{3}=36\). Следовательно, искомая площадь треугольника равна \(36\ \text{см}^{2}\).