ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.150 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A \((-1; 5)\), B \((4; 6)\), C \((3; 1)\) и D \((-2; 0)\) является ромбом.

Найдём векторы сторон: \(\vec{AB}=(4-(-1),\,6-5)=(5,1)\), \(\vec{DC}=(3-(-2),\,1-0)=(5,1)\). Следовательно, \(\vec{AB}=\vec{DC}\), противоположные стороны параллельны и равны.

Далее: \(\vec{BC}=(3-4,\,1-6)=(-1,-5)\), \(\vec{AD}=(-2-(-1),\,0-5)=(-1,-5)\). Значит, \(\vec{BC}=\vec{AD}\), вторая пара противоположных сторон также параллельна и равна. Получили параллелограмм.

Проверим равенство всех сторон: \(|\vec{AB}|=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}\), \(|\vec{BC}|=\sqrt{(-1)^2+(-5)^2}=\sqrt{26}\), \(|\vec{CD}|=|\vec{DC}|=\sqrt{26}\), \(|\vec{DA}|=|\vec{AD}|=\sqrt{26}\). Все стороны равны.

Следовательно, четырёхугольник \(ABCD\) — ромб.

1) Найдём направляющие векторы сторон по координатам вершин. Для стороны \(AB\): \(\vec{AB}=(x_{B}-x_{A},\,y_{B}-y_{A})=(4-(-1),\,6-5)=(5,1)\). Для стороны \(DC\): \(\vec{DC}=(x_{C}-x_{D},\,y_{C}-y_{D})=(3-(-2),\,1-0)=(5,1)\). Совпадение векторов \(\vec{AB}=\vec{DC}\) означает, что стороны \(AB\) и \(DC\) параллельны и равны по длине, так как равные направляющие векторы определяют одинаковые отрезки в координатной плоскости. Аналогично найдём векторы для другой пары противоположных сторон: \(\vec{BC}=(x_{C}-x_{B},\,y_{C}-y_{B})=(3-4,\,1-6)=(-1,-5)\) и \(\vec{AD}=(x_{D}-x_{A},\,y_{D}-y_{A})=(-2-(-1),\,0-5)=(-1,-5)\). И здесь \(\vec{BC}=\vec{AD}\), следовательно, \(BC\parallel AD\) и они равны. Наличие двух пар равных и параллельных противоположных сторон доказывает, что \(ABCD\) — параллелограмм.

2) Для установления факта, что параллелограмм является ромбом, достаточно показать равенство всех его сторон. Длины сторон вычислим по формуле расстояния между точками или, что эквивалентно, по длине соответствующих векторов. Длина \(AB\) равна \( |\vec{AB}|=\sqrt{5^{2}+1^{2}}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\). Для стороны \(BC\): \( |\vec{BC}|=\sqrt{(-1)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}\). Для стороны \(CD\) удобно воспользоваться вектором \(\vec{DC}\) той же длины: \( |\vec{CD}|=|\vec{DC}|=\sqrt{5^{2}+1^{2}}=\sqrt{26}\). Для стороны \(DA\) аналогично: \( |\vec{DA}|=|\vec{AD}|=\sqrt{(-1)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{26}\). Таким образом, все четыре стороны имеют одну и ту же длину \(\sqrt{26}\).

3) Из пунктов 1 и 2 следует полная характеристика: фигура \(ABCD\) является параллелограммом с попарно параллельными и равными противоположными сторонами, причём длины всех сторон совпадают. По определению ромба как параллелограмма, у которого все стороны равны, получаем окончательный вывод: \(ABCD\) — ромб. Дополнительно отметим, что равенство длин может быть установлено и через скалярные произведения векторов, но уже полученных расчётов достаточно: совпадение длин \( |\vec{AB}|=|\vec{BC}|=|\vec{CD}|=|\vec{DA}|=\sqrt{26}\) при установленной параллелограммности однозначно подтверждает, что рассматриваемый четырёхугольник является ромбом.