ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.151 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A \((2; -2)\), B \((1; 2)\), C \((-3; 1)\) и D \((-2; -3)\) является прямоугольником.

— Найдём векторы сторон: \(\overrightarrow{AB}=(1-2,\,2-(-2))=(-1,\,4)\), \(\overrightarrow{BC}=(-3-1,\,1-2)=(-4,\,-1)\), \(\overrightarrow{CD}=(-2-(-3),\,-3-1)=(1,\,-4)\), \(\overrightarrow{DA}=(2-(-2),\,-2-(-3))=(4,\,1)\).

— Проверим параллельность и равенство противоположных сторон: \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}\), следовательно, \(AB\parallel CD\), \(BC\parallel AD\) и \(AB=CD\), \(BC=AD\). Значит, \(ABCD\) — параллелограмм.

— Проверим перпендикулярность смежных сторон по скалярному произведению: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=(-1)\cdot(-4)+4\cdot(-1)=4-4=0\). Следовательно, \(\angle ABC=90^\circ\).

— Дополнительно убедимся по диагоналям: \(\overrightarrow{AC}=(-3-2,\,1-(-2))=(-5,\,3)\), \(\overrightarrow{BD}=(-2-1,\,-3-2)=(-3,\,-5)\). Их длины равны: \(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-5)^2+3^2}=\sqrt{34}\), \(|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{(-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{34}\). В параллелограмме равенство диагоналей означает прямоугольник.

— Следовательно, четырёхугольник \(ABCD\) является прямоугольником.

1) Вычислим координаты векторов сторон по формуле разности координат конца и начала: \(\overrightarrow{AB}=(1-2,\,2-(-2))=(-1,\,4)\), \(\overrightarrow{BC}=(-3-1,\,1-2)=(-4,\,-1)\), \(\overrightarrow{CD}=(-2-(-3),\,-3-1)=(1,\,-4)\), \(\overrightarrow{DA}=(2-(-2),\,-2-(-3))=(4,\,1)\). Эти четыре вектора задают направление и длину соответствующих сторон. Сравним противоположные пары: \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}\), то есть они коллинеарны и равны по длине, но противоположно направлены; \(\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}\) — аналогично. Отсюда следует параллельность \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\), а также равенство длин \(AB=CD\) и \(BC=AD\). Следовательно, фигура \(ABCD\) является параллелограммом, так как по определению параллелограммом называется четырёхугольник с параллельными попарно противоположными сторонами.

2) Для проверки прямого угла рассмотрим скалярное произведение смежных сторон. Скалярное произведение векторов \((x_{1},y_{1})\) и \((x_{2},y_{2})\) равно \(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\). Вычислим \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=(-1)\cdot(-4)+4\cdot(-1)=4-4=0\). Нулевое значение скалярного произведения означает перпендикулярность векторов, то есть стороны \(AB\) и \(BC\) образуют угол \(90^{\circ}\). В параллелограмме наличие одного прямого угла гарантирует, что все углы прямые, поскольку противоположные углы равны, а смежные углы дополнительны и при одном \(90^{\circ}\) второй также равен \(90^{\circ}\). Следовательно, уже на этом этапе можно заключить, что \(ABCD\) — прямоугольник.

3) Для усиления проверки воспользуемся свойством диагоналей. Найдём диагонали: \(\overrightarrow{AC}=(-3-2,\,1-(-2))=(-5,\,3)\), \(\overrightarrow{BD}=(-2-1,\,-3-2)=(-3,\,-5)\). Длины диагоналей равны по формуле расстояния: \(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-5)^{2}+3^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\), \(|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{(-3)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\). В любом параллелограмме равенство длин диагоналей является признаком прямоугольника. Мы уже установили, что \(ABCD\) — параллелограмм, а теперь видим, что его диагонали равны: \(|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|\). Следовательно, одновременно выполняются два критерия: наличие прямого угла по нулевому скалярному произведению и равенство диагоналей параллелограмма, что окончательно подтверждает, что четырёхугольник \(ABCD\) является прямоугольником.