ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.152 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны точки A \((-2; 1)\) и B \((2; -3)\). Найдите уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой AB и пересекает отрезок AB в точке N такой, что \(AN : NB = 3 : 1\).

Точки \(A(-2;1)\) и \(B(2;-3)\). Вектор \(\overrightarrow{AB}=(4,-4)\), направление прямой \(AB\): \(y=-x-1\). Координаты точки \(N\) при отношении \(AN:NB=3:1\) делят \(AB\) внутренне: \(N=\left(\frac{3\cdot 2+1\cdot(-2)}{3+1},\,\frac{3\cdot(-3)+1\cdot 1}{3+1}\right)=\left(\frac{6-2}{4},\,\frac{-9+1}{4}\right)=(1,-2)\).

Прямая, перпендикулярная \(AB\), имеет угловой коэффициент, обратный и с противоположным знаком к коэффициенту \(AB\). У \(AB\) наклон \(k_{AB}=-1\), значит \(k_{\perp}=1\). Через точку \(N(1,-2)\): \(y+2=1(x-1)\Rightarrow y=x-3\).

Ответ: \(y=x-3\).

Точки заданы как \(A(-2;1)\) и \(B(2;-3)\). Сначала найдем направление прямой \(AB\). Вектор \(\overrightarrow{AB}\) равен разности координат: \(\overrightarrow{AB}=(2-(-2);\,-3-1)=(4;\,-4)\). Это означает, что при увеличении \(x\) на \(4\) значение \(y\) уменьшается на \(4\), следовательно угловой коэффициент прямой \(AB\) равен \(k_{AB}=\frac{-4}{4}=-1\). Уравнение прямой через точку \(A\) с таким наклоном запишем как \(y-1=-1(x+2)\), раскрывая скобки получаем \(y-1=-x-2\), откуда \(y=-x-1\). Таким образом прямая \(AB\) имеет вид \(y=-x-1\), что согласуется с найденным вектором направления.

Теперь найдем координаты точки \(N\), которая делит отрезок \(AB\) внутренне в отношении \(AN:NB=3:1\). Для внутреннего деления отрезка формула барицентра даёт координаты \(N\) как средневзвешенные: \(x_{N}=\frac{3\cdot x_{B}+1\cdot x_{A}}{3+1}\) и \(y_{N}=\frac{3\cdot y_{B}+1\cdot y_{A}}{3+1}\). Подставляя \(x_{A}=-2\), \(y_{A}=1\), \(x_{B}=2\), \(y_{B}=-3\), получаем \(x_{N}=\frac{3\cdot 2+1\cdot(-2)}{4}=\frac{6-2}{4}=\frac{4}{4}=1\) и \(y_{N}=\frac{3\cdot(-3)+1\cdot 1}{4}=\frac{-9+1}{4}=\frac{-8}{4}=-2\). Следовательно точка \(N\) имеет координаты \(N(1;\,-2)\), и она действительно лежит на отрезке \(AB\) ближе к \(B\), так как вес у \(B\) больше при внутреннем делении \(3:1\).

Ищем прямую, перпендикулярную \(AB\), проходящую через \(N\). Перпендикулярность в координатной плоскости означает, что произведение угловых коэффициентов таких прямых равно \(-1\): \(k_{AB}\cdot k_{\perp}=-1\). Поскольку \(k_{AB}=-1\), то \(k_{\perp}=1\). Уравнение прямой с наклоном \(1\), проходящей через точку \(N(1;\,-2)\), запишем в точечно-угловой форме: \(y-(-2)=1\cdot(x-1)\), то есть \(y+2=x-1\). Перенесем члены: \(y=x-3\). Итак, искомая прямая, перпендикулярная \(AB\) и проходящая через точку деления \(N\) при отношении \(AN:NB=3:1\), имеет уравнение \(y=x-3\).