ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.154 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Найдите координаты разности векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), изображённых на рисунке 22.6.

Дано: по рисунку \( \vec a = (4;2)\), \( \vec b = (2;-2)\).

Разность векторов на координатах вычисляется покомпонентно: \( \vec a — \vec b = (a_x — b_x;\; a_y — b_y)\).

Подстановка: \( \vec a — \vec b = (4-2;\; 2-(-2))=(2;\;4)\).

Ответ: \( (2;\;4)\).

1) По рисунку 22.6 векторы заданы началом в начале координат, поэтому их можно читать по концам как координаты. Конец вектора \(\vec a\) расположен на 4 клетки вправо по оси \(x\) и на 2 клетки вверх по оси \(y\), значит \(\vec a=(4;2)\). Конец вектора \(\vec b\) расположен на 2 клетки вправо по оси \(x\) и на 2 клетки вниз по оси \(y\), поэтому \(\vec b=(2;-2)\). Эти координаты отражают горизонтальную и вертикальную составляющие каждого вектора: первая компонента отвечает за смещение по \(x\), вторая — за смещение по \(y\).

2) Разность векторов в координатной форме вычисляется покомпонентно. Если \(\vec a=(a_x;a_y)\) и \(\vec b=(b_x;b_y)\), то \(\vec a-\vec b=(a_x-b_x;\;a_y-b_y)\). Это правило следует из определения векторной разности как суммы \(\vec a+(-\vec b)\): отрицание вектора \(\vec b\) меняет направление его компонентов, т.е. \(-\vec b=(-b_x;-b_y)\), а затем применяется покомпонентное сложение. Благодаря декартовой системе координат операции выполняются независимо по осям, что делает вычисление прямым и наглядным.

3) Подставим найденные компоненты: \(a_x=4\), \(a_y=2\), \(b_x=2\), \(b_y=-2\). Тогда \(\vec a-\vec b=(4-2;\;2-(-2))\). Сначала по оси \(x\): \(4-2=2\). Затем по оси \(y\): \(2-(-2)=2+2=4\). Получаем \(\vec a-\vec b=(2;4)\). Геометрически это означает, что если к концу \(\vec b\) приложить вектор \(-\vec b\) и сложить его с \(\vec a\), то результирующий вектор смещает точку на 2 единицы вправо и на 4 единицы вверх относительно начала координат, что согласуется с покомпонентным вычислением.

Ответ: \((2;4)\).