ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.155 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны векторы \(\vec{a} (3; -1)\) и \(\vec{b} (1; -2)\). Найдите координаты вектора \(\vec{m}\), если \(\vec{m} = 3\vec{a} 2\vec{b}\).

Условие: \(\vec{a}(3;-1)\), \(\vec{b}(1;-2)\), \(\vec{m}=3\vec{a}-2\vec{b}\).

— Умножим на скаляры: \(3\vec{a}=3\cdot(3;-1)=(9;-3)\), \(-2\vec{b}=-2\cdot(1;-2)=(-2;4)\).
— Складываем: \(\vec{m}=(9-2;\,-3+4)=(7;1)\).

Ответ: \(\vec{m}(7;1)\).

1) Чтобы найти координаты вектора при линейной комбинации, каждую исходную координату умножают на соответствующий скаляр и затем поэлементно складывают. Нам даны векторы \( \vec{a}(3;-1) \) и \( \vec{b}(1;-2) \), а также выражение \( \vec{m}=3\vec{a}-2\vec{b} \). Сначала домножим вектор \( \vec{a} \) на число 3: получаем \( 3\vec{a}=3\cdot(3;-1)=(3\cdot3;\,3\cdot(-1))=(9;\,-3) \). Затем учтем знак перед вторым слагаемым: минус перед \( 2\vec{b} \) означает, что фактически прибавляется противоположный вектор к \( 2\vec{b} \). Сначала вычислим \( 2\vec{b}=2\cdot(1;-2)=(2\cdot1;\,2\cdot(-2))=(2;\,-4) \), а затем возьмем с минусом: \( -2\vec{b}=-(2;\,-4)=(-2;\,4) \).

2) Теперь сложим результаты по координатам, аккуратно работая с знаками. Для первой координаты: \( 9+(-2)=9-2=7 \). Для второй координаты: \( -3+4=1 \). Таким образом, итоговая поэлементная сумма дает \( \vec{m}=(7;\,1) \). Здесь важно понимать, что поэлементное сложение векторов означает суммирование соответствующих координат: первая с первой, вторая со второй; никакие координаты между собой не перемножаются, так как речь идет не о скалярном произведении, а о линейной комбинации.

3) Проверим корректность путём обратного разложения, чтобы исключить арифметические ошибки. Если развернуть выражение \( \vec{m}=3\vec{a}-2\vec{b} \) покомпонентно, получаем для первой координаты: \( 3\cdot3-2\cdot1=9-2=7 \). Для второй координаты: \( 3\cdot(-1)-2\cdot(-2)=-3-(-4)=-3+4=1 \). Результат совпадает с поэлементным сложением ранее, значит вычисления согласованы. Следовательно, конечный ответ полностью соответствует записи на изображении: \( \vec{m}(7;\,1) \).