ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.157 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Вычислите скалярное произведение \((\vec{a} 2\vec{b})(\vec{a} + \vec{b})\), если \(|\vec{a}| = \sqrt{2}\), \(|\vec{b}| = 1\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ\).

\( (\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{b} — 2\vec{b}\cdot\vec{a} — 2\vec{b}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|^2 — \vec{a}\cdot\vec{b} — 2|\vec{b}|^2 \)

\( \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 135^\circ = \sqrt{2}\cdot 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1 \)

\( |\vec{a}|^2 = 2,\ |\vec{b}|^2 = 1 \Rightarrow (\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = 2 — (-1) — 2\cdot 1 = 1 \)

1) Разложим скалярное произведение по дистрибутивности. Для любых векторов справедливо \( (\vec{x}+\vec{y})\cdot\vec{z}=\vec{x}\cdot\vec{z}+\vec{y}\cdot\vec{z} \) и \( (\lambda\vec{x})\cdot\vec{z}=\lambda(\vec{x}\cdot\vec{z}) \). Применяя это к выражению \( (\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) \), поочерёдно раскрываем скобки: \( (\vec{a}-2\vec{b})\cdot\vec{a}+(\vec{a}-2\vec{b})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{a}-2\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}-2\vec{b}\cdot\vec{b} \). Учитывая коммутативность скалярного произведения \( \vec{b}\cdot\vec{a}=\vec{a}\cdot\vec{b} \), группируем члены и получаем компактную форму: \( |\vec{a}|^{2}-\vec{a}\cdot\vec{b}-2|\vec{b}|^{2} \).

2) Вычислим величины, входящие в эту формулу. По определению скалярного произведения \( \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \), где \( \theta=\angle(\vec{a},\vec{b}) \). Нам даны \( |\vec{a}|=\sqrt{2} \), \( |\vec{b}|=1 \), \( \theta=135^{\circ} \). Значение косинуса тупого угла \( 135^{\circ} \) равно \( \cos135^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \). Тогда \( \vec{a}\cdot\vec{b}= \sqrt{2}\cdot 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1 \). Также \( |\vec{a}|^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2 \) и \( |\vec{b}|^{2}=1^{2}=1 \).

3) Подставим найденные значения в выражение из пункта 1. Имеем \( |\vec{a}|^{2}-\vec{a}\cdot\vec{b}-2|\vec{b}|^{2}= 2-(-1)-2\cdot 1 \). Сначала учитываем минус перед скалярным произведением: \( -\vec{a}\cdot\vec{b}=-(-1)=+1 \). Затем выполняем умножение \( 2\cdot 1=2 \). Итоговая арифметика даёт \( 2+1-2=1 \).

Ответ: \( 1 \).