ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.158 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны точки M \((4; -2)\), N \((1; 1)\) и P \((3; 3)\). Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MP}\).

Найдём координаты векторов: \(\overrightarrow{MN}=(1-4;\,1-(-2))=(-3;\,3)\), \(\overrightarrow{MP}=(3-4;\,3-(-2))=(-1;\,5)\).

Скалярное произведение: \(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MP}=(-3)\cdot(-1)+3\cdot5=3+15=18\).

Ответ: \(18\).

1) Определим векторы по координатам точек. Для вектора \(\overrightarrow{MN}\) берём конечную точку \(N(1;1)\) и вычитаем начальную \(M(4;-2)\): \(\overrightarrow{MN}=(1-4;\,1-(-2))=(-3;\,3)\). Для вектора \(\overrightarrow{MP}\) берём конечную точку \(P(3;3)\) и вычитаем \(M(4;-2)\): \(\overrightarrow{MP}=(3-4;\,3-(-2))=(-1;\,5)\). Эти координаты показывают, на сколько единиц по осям \(x\) и \(y\) нужно сместиться из точки \(M\), чтобы попасть в точки \(N\) и \(P\).

2) Скалярное произведение двух векторов в координатной форме определяется как сумма произведений соответствующих координат: \((x_{1},y_{1})\cdot(x_{2},y_{2})=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\). Подставим найденные компоненты: \(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MP}=(-3;\,3)\cdot(-1;\,5)=(-3)\cdot(-1)+3\cdot5\). Здесь первое произведение даёт вклад по оси \(x\), второе — по оси \(y\), что отражает вклад каждой координаты в совместное направление векторов.

3) Вычислим численно: \((-3)\cdot(-1)=3\) и \(3\cdot5=15\). Сложим результаты, получим \(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MP}=3+15=18\). Положительное значение означает, что угол между векторами острый, так как скалярное произведение больше нуля, а модуль результата равен сумме произведений координат, что согласуется с формулой \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\| \overrightarrow{a} \|\| \overrightarrow{b} \|\cos\theta\).

Ответ: \(18\).