ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.159 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рисунке 22.7 изображён ромб ABCD, в котором \(AB = 2\) см, \(\angle ABC = 120^\circ\). Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

В ромбе \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\), причём \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=2\) и угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) равен \(\angle BAD=60^\circ\) (смежный к \(120^\circ\) у вершины \(B\)).

Тогда \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|\cos60^\circ=\)
\(=2^2+2\cdot2\cdot\frac{1}{2}=4+2=6\).

1) Начнём с уточнения векторов в ромбе. В ромбе \(ABCD\) все стороны равны: \(AB=BC=CD=DA=2\). По определению диагонали \(AC\) как векторной суммы соседних сторон из одной точки, верно представление \( \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \), а не через \(\overrightarrow{BC}\). Это следует из параллелограмма правил сложения векторов: диагональ равна сумме двух смежных сторон, исходящих из одной вершины \(A\). При этом угол при вершине \(B\) равен \(120^\circ\), а сумма углов при одной стороне ромба равна \(180^\circ\), значит угол при вершине \(A\) равен \(60^\circ\). Следовательно, угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) равен \(60^\circ\). Модули этих векторов равны \( |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=2 \).

2) Рассмотрим скалярное произведение, используя линейность по второму аргументу: \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} \). Первая часть равна квадрату длины вектора: \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AB}|^{2}=2^{2}=4 \). Вторая часть выражается через модуль векторов и косинус угла между ними: \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|\cos 60^\circ=2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=2 \). Здесь важно, что выбран именно угол \(60^\circ\), так как он соответствует углу между смежными сторонами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) при вершине \(A\), а не угол \(120^\circ\) при вершине \(B\), который относится к параллельным векторным направлениям \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) и не участвует в разложении \(\overrightarrow{AC}\) через \(\overrightarrow{AD}\).

3) Суммируя полученные слагаемые, получаем окончательное значение: \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4+2=6 \). Это согласуется с геометрической интерпретацией: диагональ \(AC\) в ромбе получается сложением двух равных по длине сторон, образующих острый угол \(60^\circ\), поэтому её проекция на направление \(\overrightarrow{AB}\) положительна и добавляет к квадрату длины \(\overrightarrow{AB}\) дополнительный вклад \(2\). Альтернативно можно было бы вычислить длину диагонали \(AC\) по теореме косинусов для треугольника \( \triangle BAD \): \( AC^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2\cdot AB\cdot AD\cos(120^\circ)=4+4-2\cdot 2\cdot 2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=12 \), откуда \( AC=2\sqrt{3} \). Тогда \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos 30^\circ=2\cdot 2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6 \), что полностью подтверждает результат.