ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(CM\) — медиана треугольника \(ABC\), изображённого на рисунке 22.3, отрезок \(DE\) — средняя линия треугольника \(MBC\). Чему равна площадь четырёхугольника \(MDEC\), если площадь треугольника \(ABC\) равна 48 см\(^2\)?

Пусть площадь треугольника \(S_{\triangle ABC}=48\). Так как \(CM\) — медиана, то она делит треугольник на два равновеликих, значит \(S_{\triangle MBC}=\frac{1}{2}\cdot 48=24\).

В треугольнике \(MBC\) отрезок \(DE\) — средняя линия, поэтому отсечённый треугольник \(DEC\) подобен \(MBC\) с коэффициентом \(k=\frac{1}{2}\). Следовательно, его площадь равна \(S_{\triangle DEC}=k^{2}\cdot S_{\triangle MBC}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot 24=\frac{1}{4}\cdot 24=6\).

Тогда площадь искомой фигуры равна разности: \(S_{MDEC}=S_{\triangle MBC}-S_{\triangle DEC}=24-6=18\ \text{см}^{2}\).

1) Вся исходная информация: площадь исходного треугольника \(S_{\triangle ABC}=48\). Так как \(CM\) является медианой, она делит треугольник \(ABC\) на два равновеликих треугольника \(AMC\) и \(BMC\). Следовательно, площадь треугольника \(MBC\) равна половине площади всего треугольника: \(S_{\triangle MBC}=\frac{1}{2}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot 48=24\). Эта величина будет опорной для дальнейших вычислений, поскольку все последующие действия происходят внутри треугольника \(MBC\).

2) Внутри треугольника \(MBC\) рассматривается отрезок \(DE\), являющийся средней линией: точки \(D\) и \(E\) — середины соответствующих сторон треугольника \(MBC\). Свойство средней линии гласит: она параллельна третьей стороне и равна её половине. Более важно для площадей, что средней линией отсекается треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия \(k=\frac{1}{2}\). Площадь фигур при подобии масштабируется по квадрату коэффициента, то есть в нашем случае площадь отсечённого треугольника \(DEC\) будет равна \(k^{2}\) от площади треугольника \(MBC\): \(S_{\triangle DEC}=k^{2}\cdot S_{\triangle MBC}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot 24=\frac{1}{4}\cdot 24=6\). Это ключевой шаг: вместо деления площади пополам средней линией, что верно для длин, мы учитываем именно квадратичное изменение площади.

3) Площадь искомой фигуры \(MDEC\) находится как разность площади всего треугольника \(MBC\) и площади отсечённого малого треугольника \(DEC\), поскольку \(MDEC\) является дополнением \(DEC\) до \(MBC\): \(S_{MDEC}=S_{\triangle MBC}-S_{\triangle DEC}=24-6=18\). Таким образом, аккуратное применение свойства подобия и квадратного масштаба площадей даёт окончательный числовой результат, согласующийся с требуемым ответом: \(18\ \text{см}^{2}\).