ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.160 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 1. Вычислите скалярное произведение: 1) \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CD}\); 2) \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CD}\).

В правильном шестиугольнике соседние стороны образуют угол \(120^\circ\), а направления диагоналей учитываем по параллельности соответствующих векторов.

Абзац 1: \( \overrightarrow{BA} \) параллелен одной стороне, а \( \overrightarrow{CD} \) параллелен соседней стороне, угол между ними \(120^\circ\). Их длины равны \(1\). Тогда \( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CD} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 120^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} \).

Абзац 2: \( \overrightarrow{AD} \) — диагональ длины \(2\) (через центр), а \( \overrightarrow{CD} \) — сторона длины \(1\). Угол между \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{CD} \) равен \(60^\circ\). Тогда \( \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CD} = 2 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 \).

1) Рассмотрим правильный шестиугольник \(ABCDEF\) со стороной длины \(1\). Векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{CD}\) направлены вдоль двух соседних сторон шестиугольника: \(\overrightarrow{BA}\) совпадает по направлению со стороной \(AB\), а \(\overrightarrow{CD}\) — со стороной \(CD\). В правильном шестиугольнике угол между соседними сторонами равен \(120^\circ\). Длины этих векторов равны длинам соответствующих сторон: \(|\overrightarrow{BA}|=1\) и \(|\overrightarrow{CD}|=1\). Тогда скалярное произведение выражается через косинус угла между ними: \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CD} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{CD}| \cdot \cos 120^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \cos 120^\circ\). Поскольку \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), получаем \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CD} = 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}\). Знак минус отражает тупой угол \(120^\circ\) между направлениями соседних сторон.

2) Для \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CD}\) заметим, что \(\overrightarrow{AD}\) — диагональ, соединяющая противоположные вершины правильного шестиугольника, проходящая через его центр. В правильном шестиугольнике такая диагональ равна двум сторонам, поэтому \(|\overrightarrow{AD}|=2\), а \(|\overrightarrow{CD}|=1\). Угол между \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CD}\) равен \(60^\circ\): это следует из того, что радиальные направления к вершинам образуют шаг \(60^\circ\), а диагональ \(AD\) параллельна одному из направлений осей симметрии, образуя с стороной \(CD\) острый угол \(60^\circ\). Тогда по формуле скалярного произведения имеем \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CD} = |\overrightarrow{AD}| \cdot |\overrightarrow{CD}| \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ\). Так как \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), итоговое значение равно \(2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1\).

3) Итоговые значения согласуются с геометрией правильного шестиугольника и с ориентацией векторов: в первом случае возник отрицательный результат из-за тупого угла \(120^\circ\) между соседними направлениями, во втором случае положительный результат из-за острого угла \(60^\circ\) и удвоенной длины диагонали \(AD\). Следовательно, искомые скалярные произведения равны: \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CD} = -\frac{1}{2}\) и \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CD} = 1\).