ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.161 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите угол между векторами \(\vec{a} (-1; -1)\) и \(\vec{b} (2; 0)\).

Находим косинус угла: \(\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}=\frac{(-1)\cdot 2+(-1)\cdot 0}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}\,\sqrt{2^2+0^2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}\cdot 2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Следовательно, угол: \(\angle(\vec{a},\vec{b})=135^\circ\).

1) Запишем исходные векторы и их скалярное произведение. Пусть \(\vec{a}=(-1,-1)\) и \(\vec{b}=(2,0)\). Скалярное произведение двух векторов в координатной форме вычисляется как сумма произведений соответствующих координат: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_a x_b+y_a y_b\). Подставляя значения, получаем \(\vec{a}\cdot\vec{b}=(-1)\cdot 2+(-1)\cdot 0=-2+0=-2\). Этот результат показывает, что векторы направлены «в целом» в противоположные полуплоскости, так как скалярное произведение отрицательно.

2) Найдём длины (модули) векторов по формуле Евклидовой нормы. Для \(\vec{a}\) имеем \(\|\vec{a}\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\). Для \(\vec{b}\) соответственно \(\|\vec{b}\|=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4+0}=\sqrt{4}=2\). Эти величины нужны для нормировки, чтобы связать скалярное произведение с косинусом угла между векторами по стандартной формуле.

3) Вычислим косинус угла между векторами с использованием определения: \(\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\). Подставим полученные значения: \(\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{-2}{\sqrt{2}\cdot 2}=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\). Значение \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) является табличным и соответствует углу в \(135^\circ\), поскольку \(\cos 135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}\). Следовательно, искомый угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \(\angle(\vec{a},\vec{b})=135^\circ\).