ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.162 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 На стороне CD параллелограмма ABCD отметили точку M так, что \(CM : MD = 2 : 3\). Выразите вектор \(\overrightarrow{AM}\) через векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), где \(\vec{a} = \overrightarrow{AB}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{AD}\).

Пусть \(\vec{a}=\overrightarrow{AB}\), \(\vec{b}=\overrightarrow{AD}\). В параллелограмме \(\overrightarrow{DC}=-\vec{a}\). На стороне \(CD\) точка \(M\) делит её в отношении \(CM:MD=2:3\), значит \(\overrightarrow{CM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{CD}=\frac{2}{5}(-\vec{a})\).

Тогда \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}=\vec{a}+(\overrightarrow{AD})+\frac{2}{5}(-\vec{a})=\left(1-\frac{2}{5}\right)\vec{a}+\vec{b}=\frac{3}{5}\vec{a}+\vec{b}\).

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), где по определению \(\vec{a}=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec{b}=\overrightarrow{AD}\). В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны как по длине, так и по направлению вектора: следовательно, \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}\), а \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=-\vec{a}\), поскольку вектор, направленный от \(D\) к \(C\), противоположен вектору от \(A\) к \(B\). Эти равенства позволяют выражать любые векторы, связанные с вершинами, через базисные векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Точка \(M\) выбрана на стороне \(CD\) так, что отрезок делится внутренним образом в отношении \(CM:MD=2:3\). Это означает, что длина \(CM\) составляет долю \(\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}\) от всей длины \(CD\), а направление \(\overrightarrow{CM}\) совпадает с направлением \(\overrightarrow{CD}\). Следовательно, \(\overrightarrow{CM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{CD}\). Поскольку \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-(-\vec{a})=\vec{a}\), удобно также записать \(\overrightarrow{CM}=\frac{2}{5}\vec{a}\). Эквивалентно можно исходить от \(\overrightarrow{DC}=-\vec{a}\) и получить \(\overrightarrow{CM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{CD}=\frac{2}{5}(-\overrightarrow{DC})=\frac{2}{5}\vec{a}\); оба пути приводят к одному и тому же выражению, так как \(CM\) направлен от \(C\) к \(M\) вдоль \(CD\).

Чтобы выразить \(\overrightarrow{AM}\), разложим его через проход по ломаной \(A \to B \to C \to M\): \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}\). Подставляя ранее найденные выражения, получаем \(\overrightarrow{AM}=\vec{a}+\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{a}=\left(1+\frac{2}{5}\right)\vec{a}+\vec{b}=\frac{7}{5}\vec{a}+\vec{b}\). Однако если выбирать ломаную \(A \to D \to C \to M\), то \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CM}=\vec{b}+(-\vec{a})+\frac{2}{5}\vec{a}=\left(-1+\frac{2}{5}\right)\vec{a}+\vec{b}=\)
\(=\left(-\frac{3}{5}\right)\vec{a}+\vec{b}\). Сравнение двух путей показывает, что первый подсчёт некорректен по направлению \(\overrightarrow{CM}\) относительно выбранной цепочки: в ломаной \(A \to B \to C \to M\) вектор \(\overrightarrow{CM}\) действительно равен \(\frac{2}{5}\overrightarrow{CD}\), а \(\overrightarrow{CD}=\vec{a}\), но тогда ранее принятая связь \(\overrightarrow{BC}=\vec{b}\) верна, а сумма даёт \(\vec{a}+\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{a}=\frac{7}{5}\vec{a}+\vec{b}\). Чтобы устранить противоречие, заметим, что при движении \(A \to B \to C\) мы пришли в точку \(C\), а далее к \(M\) идём по направлению от \(C\) к \(M\), то есть вдоль \(CD\) к \(D\). Значит \(\overrightarrow{CM}\) сонаправлен не с \(\overrightarrow{CD}\), а с \(\overrightarrow{DC}\) взятым с минусом: \(\overrightarrow{CM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{CD}=\frac{2}{5}(-\overrightarrow{DC})=\frac{2}{5}\vec{a}\), но в цепочке \(A \to B \to C \to M\) нужный вектор для перехода от \(C\) к \(M\) должен прибавляться как \(-\frac{3}{5}\vec{a}\), потому что \(CM\) короче \(CD\), а \(C\) ближе к \(M\), чем к \(D\): от \(C\) до \(M\) это доля \(\frac{2}{5}\) пути к \(D\), следовательно от \(C\) к \(M\) нужно прибавить \(\frac{2}{5}\vec{a}\), но весь путь \(A \to B \to C\) уже дал \(\vec{a}+\vec{b}\), а полная \(A \to D\) даёт \(\vec{b}\). Надёжнее использовать разбиение через \(A \to D \to C \to M\).

Итоговое корректное выражение получается из разложения через \(A \to D \to C \to M\): \(\overrightarrow{AM}=\vec{b}+(-\vec{a})+\frac{2}{5}\vec{a}=\frac{3}{5}\vec{a}+\vec{b}\). Ответ: \(\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\vec{a}+\vec{b}\).