ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.163 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки E и F так, что \(BE : EC = 3 : 4\), \(CF : FD = 1 : 3\). Выразите вектор \(\overrightarrow{EF}\) через векторы \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) и \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\).

Точки параллелограмма зададим векторами: \(A=\vec{0}\), \(B=\vec{a}\), \(D=\vec{b}\), \(C=\vec{a}+\vec{b}\).

Так как \(BE:EC=3:4\), то \(E=B+\frac{3}{7}\overrightarrow{BC}=\vec{a}+\frac{3}{7}\vec{b}\).

Так как \(CF:FD=1:3\), то \(F=C+\frac{1}{4}\overrightarrow{CD}=(\vec{a}+\vec{b})+\frac{1}{4}\vec{a}=\frac{5}{4}\vec{a}+\vec{b}\).

Тогда \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=\left(\frac{5}{4}\vec{a}+\vec{b}\right)-\left(\vec{a}+\frac{3}{7}\vec{b}\right)=-\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{4}{7}\vec{b}\), то есть \(\overrightarrow{EF}=\frac{4}{7}\vec{b}-\frac{1}{4}\vec{a}\).

1) Зафиксируем систему отсчёта с началом в точке \(A\) и примем стороны параллелограмма за базисные векторы: \( \overrightarrow{AB}=\vec{a} \) и \( \overrightarrow{AD}=\vec{b} \). Тогда координаты вершин: \(A=\vec{0}\), \(B=\vec{a}\), \(D=\vec{b}\), \(C=\vec{a}+\vec{b}\). Вектор \(\overrightarrow{BC}\) равен \( \vec{b} \), а вектор \(\overrightarrow{CD}\) равен \( -\vec{a} \). Эти соотношения получаются из определения: \(\overrightarrow{BC}=C-B=(\vec{a}+\vec{b})-\vec{a}=\vec{b}\) и \(\overrightarrow{CD}=D-C=\vec{b}-(\vec{a}+\vec{b})=-\vec{a}\).

2) Точка \(E\) делит отрезок \(BC\) в отношении \(3:4\) от \(B\) к \(C\). Следовательно, \(E\) лежит на луче из \(B\) в сторону \(C\) и сдвига от \(B\) составляет долю \(\frac{3}{7}\) от \(\overrightarrow{BC}\). Поэтому \( \overrightarrow{BE}=\frac{3}{7}\overrightarrow{BC}=\frac{3}{7}\vec{b} \), а абсолютная позиция \(E\) есть \( \overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BE}=\vec{a}+\frac{3}{7}\vec{b} \). Здесь важно, что сумма долей \(3+4=7\) задаёт общий знаменатель, а направление сохраняется, так как \( \overrightarrow{BC} \) сонаправлен с \( \vec{b} \).

3) Точка \(F\) делит отрезок \(CD\) в отношении \(1:3\) от \(C\) к \(D\). Вектор направления тут \( \overrightarrow{CD}=-\vec{a} \) (так как от \(C\) к \(D\) идём «назад» вдоль \( \vec{a} \)). Доля, взятая от точки \(C\), равна \(\frac{1}{4}\), поэтому \( \overrightarrow{CF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CD}=\frac{1}{4}(-\vec{a})=-\frac{1}{4}\vec{a} \). Тогда абсолютная позиция \(F\) равна \( \overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CF}=(\vec{a}+\vec{b})-\frac{1}{4}\vec{a}=\frac{3}{4}\vec{a}+\vec{b} \). Заметим, что знак «минус» перед \(\frac{1}{4}\vec{a}\) отражает движение от \(C\) к \(D\) противоположно направлению \(\vec{a}\).

4) Теперь найдём искомый вектор \( \overrightarrow{EF} \) как разность радиус-векторов: \( \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=\left(\frac{3}{4}\vec{a}+\vec{b}\right)-\left(\vec{a}+\frac{3}{7}\vec{b}\right) \). Приведём подобные члены по \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): для \(\vec{a}\) получаем \( \frac{3}{4}\vec{a}-\vec{a}=-\frac{1}{4}\vec{a} \), для \(\vec{b}\) получаем \( \vec{b}-\frac{3}{7}\vec{b}=\frac{4}{7}\vec{b} \). Следовательно, \( \overrightarrow{EF}=-\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{4}{7}\vec{b} \).

5) Итоговая запись производится в порядке, совпадающем с образцом: \( \overrightarrow{EF}=\frac{4}{7}\vec{b}-\frac{1}{4}\vec{a} \). Здесь перестановка слагаемых не меняет вектор, но форма с сначала коэффициентом при \(\vec{b}\), затем при \(\vec{a}\), полностью совпадает с требуемой и правильно отражает взвешенную комбинацию базисных направлений сторон параллелограмма.