ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.164 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и K так, что \(AM : MB = 1 : 2\), \(BK : KC = 2 : 3\). Выразите вектор \(\overrightarrow{KM}\) через векторы \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) и \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\).

Точки: \(M\in AB\) при \(AM:MB=1:2\Rightarrow AM=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}\vec a\). \(K\in BC\) при \(BK:KC=2:3\Rightarrow BK=\frac{2}{5}BC=\frac{2}{5}\vec b\), так как в параллелограмме \(BC=AD=\vec b\).

Векторы: \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\vec a+\frac{1}{3}\vec a=-\frac{2}{3}\vec a\), \(\overrightarrow{KB}=-\overrightarrow{BK}=-\frac{2}{5}\vec b\).

Искомый: \(\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BM}=-\frac{2}{5}\vec b-\frac{2}{3}\vec a\).

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), где по определению параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны: \(AB\parallel CD\), \(BC\parallel AD\), причём векторно \( \overrightarrow{AB}=\vec a \) и \( \overrightarrow{AD}=\vec b \). Следовательно, сторона \(BC\) направлена так же, как \(AD\), и имеет ту же длину, поэтому \( \overrightarrow{BC}=\vec b \). На стороне \(AB\) отмечена точка \(M\) так, что \(AM:MB=1:2\). Это значит, что точка \(M\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(1:2\), считая от вершины \(A\) к вершине \(B\). Тогда длина вектора \( \overrightarrow{AM} \) составляет одну треть длины \( \overrightarrow{AB} \), а направление совпадает с направлением \(AB\). Получаем \( \overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\vec a \). Вектор от \(B\) к \(M\) выражается через сумму \( \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM} \), где \( \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\vec a \). Подставляя \( \overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec a \), имеем \( \overrightarrow{BM}=-\vec a+\frac{1}{3}\vec a=-\frac{2}{3}\vec a \). Этот результат отражает, что, двигаясь от \(B\) к \(M\), мы идём в сторону, противоположную \(AB\), на величину \( \frac{2}{3} \) от длины \(AB\).

На стороне \(BC\) отмечена точка \(K\) так, что \(BK:KC=2:3\). Аналогично предыдущему рассуждению точка \(K\) делит отрезок \(BC\) в отношении \(2:3\), считая от \(B\) к \(C\). Длина вектора \( \overrightarrow{BK} \) равна \( \frac{2}{5} \) длины \( \overrightarrow{BC} \), а направление совпадает с направлением \(BC\). Поскольку \( \overrightarrow{BC}=\vec b \), получаем \( \overrightarrow{BK}=\frac{2}{5}\vec b \). Для использования этого при вычислении \( \overrightarrow{KM} \) нам удобен вектор \( \overrightarrow{KB} \), направленный от \(K\) к \(B\), который является противоположным к \( \overrightarrow{BK} \): \( \overrightarrow{KB}=-\overrightarrow{BK}=-\frac{2}{5}\vec b \). Таким образом, переход от точки \(K\) к точке \(B\) — это движение вдоль вектора \( \vec b \) в обратном направлении на долю \( \frac{2}{5} \) длины стороны \(BC\).

Теперь соберём искомый вектор \( \overrightarrow{KM} \). По правилу треугольника для сложения векторов движение из точки \(K\) в точку \(M\) можно представить как последовательное перемещение из \(K\) в \(B\), а затем из \(B\) в \(M\): \( \overrightarrow{KM}=\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BM} \). Мы уже выразили оба слагаемых через базисные векторы параллелограмма: \( \overrightarrow{KB}=-\frac{2}{5}\vec b \) и \( \overrightarrow{BM}=-\frac{2}{3}\vec a \). Складывая их, получаем окончательное выражение для требуемого вектора через заданные векторы \( \vec a \) и \( \vec b \): \( \overrightarrow{KM}=-\frac{2}{3}\vec a-\frac{2}{5}\vec b \). Это выражение отражает, что \( \overrightarrow{KM} \) направлен противоположно как \( \overrightarrow{AB} \), так и \( \overrightarrow{BC} \), причём его проекции на соответствующие направления равны долям \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{2}{5} \) от длин сторон, согласованным с точками деления \(M\) и \(K\).