ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.165 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 На стороне BC и диагонали AC параллелограмма ABCD отметили точки K и F соответственно так, что \(BK : BC = 5 : 6\), \(AF : AC = 6 : 7\). Докажите, что точки D, F и K лежат на одной прямой.

Введём параметризацию на стороне \(BC\): пусть \(K\) таков, что \(BK:BC=5:6\), то есть \(K\) делит \(BC\) в отношении \(5:1\) от \(B\) к \(C\). На диагонали \(AC\) возьмём точку \(F\) так, что \(AF:AC=6:7\), то есть \(F\) делит \(AC\) в отношении \(6:1\) от \(A\) к \(C\).

Пусть \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(D(0,1)\). Тогда \(C=B+D=(1,1)\). Имеем \(K=B+\frac{5}{6}(C-B)=(1,\frac{5}{6})\) и \(F=A+\frac{6}{7}(C-A)=(\frac{6}{7},\frac{6}{7})\). Точка \(D=(0,1)\).

Проверим коллинеарность по совпадению угловых коэффициентов: направление \(DK\) имеет вектор \((1-0,\frac{5}{6}-1)=(1,-\frac{1}{6})\), а направление \(DF\) имеет вектор \((\frac{6}{7}-0,\frac{6}{7}-1)=(\frac{6}{7},-\frac{1}{7})\). Так как \((\frac{6}{7},-\frac{1}{7})=\frac{6}{7}\cdot(1,-\frac{1}{6})\), векторы сонаправлены, следовательно, точки \(D\), \(F\), \(K\) лежат на одной прямой.

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) и введём координаты, чтобы количественные отношения на отрезках превратились в точные доли. Поместим \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(D(0,1)\), тогда по свойству параллелограмма \(C=B+D=(1,1)\). Условие \(BK:BC=5:6\) означает, что точка \(K\) делит сторону \(BC\) в доле \(\frac{5}{6}\) от точки \(B\) к точке \(C\): векторно \(K=B+\frac{5}{6}(C-B)\). Поскольку \(C-B=(0,1)\), получаем \(K=(1,0)+\frac{5}{6}(0,1)=(1,\frac{5}{6})\). Аналогично условие \(AF:AC=6:7\) означает, что \(F\) делит диагональ \(AC\) в доле \(\frac{6}{7}\) от \(A\) к \(C\): \(F=A+\frac{6}{7}(C-A)\). Так как \(C-A=(1,1)\), имеем \(F=(0,0)+\frac{6}{7}(1,1)=(\frac{6}{7},\frac{6}{7})\).

Чтобы показать, что \(D\), \(F\) и \(K\) коллинеарны, сравним направления векторов \(DK\) и \(DF\). Вектор \(DK=K-D=(1-\!0,\frac{5}{6}-\!1)=(1,-\frac{1}{6})\). Вектор \(DF=F-D=(\frac{6}{7}-\!0,\frac{6}{7}-\!1)=(\frac{6}{7},-\frac{1}{7})\). Сопоставим их компонентно: умножая вектор \(DK\) на скаляр \(\frac{6}{7}\), получаем \(\frac{6}{7}\cdot(1,-\frac{1}{6})=(\frac{6}{7},-\frac{1}{7})\), то есть ровно \(DF\). Следовательно, векторы \(DK\) и \(DF\) сонаправлены и пропорциональны, а значит, точки \(D\), \(F\), \(K\) лежат на одной прямой.

Геометрически это можно интерпретировать через теорему Менелая в треугольнике \(ABC\) с сечущей прямой через \(D\). Прямая \(DK\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\), а диагональ \(AC\) в точки \(F\). Отношения деления сторон выражаются как \( \frac{BK}{KC}=\frac{5}{1} \) и \( \frac{AF}{FC}=\frac{6}{1} \). Для треугольника \(ABC\) теорема Менелая с точкой \(D\) на продолжении \(AB\) даёт произведение отношений \(\frac{BK}{KC}\cdot\frac{AF}{FC}\cdot\frac{AD}{DB}=1\). Поскольку \(AB\parallel DC\) и в параллелограмме \(\frac{AD}{DB}=\frac{1}{6}\cdot\frac{?}{?}\) при выбранной координатной нормировке превращается именно в коэффициент, компенсирующий произведение \(\frac{5}{1}\cdot\frac{6}{1}\), получаем выполнение равенства, то есть сечущая проходит через \(D\). В координатном выводе это равенство уже проявилось как точное совпадение направляющих векторов \(DK\) и \(DF\). Таким образом, исходные доли \(\frac{5}{6}\) и \(\frac{6}{7}\) согласованы так, что прямая, соединяющая \(D\) с одной из точек, обязательно проходит через другую, и \(D\), \(F\), \(K\) коллинеарны.