ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.166 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки M и N — середины диагоналей AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD \((AD > BC)\). Известно, что \(MN = \frac{1}{2}(AD BC)\). Докажите, что данный четырёхугольник — трапеция.

Пусть \(M\) и \(N\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\). Тогда отрезок \(MN\) является средним в треугольниках \(ABD\) и \(ABC\): в первом он параллелен стороне \(AD\), во втором — стороне \(BC\).

Из условия \(MN=\frac{1}{2}(AD-BC)\). Если \(MN\) одновременно является половиной проекций на одно направление, то направления \(AD\) и \(BC\) совпадают, то есть \(MN\) параллелен и \(AD\), и \(BC\).

Следовательно, \(AD\parallel BC\), а значит \(ABCD\) — трапеция.

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) с диагоналями \(AC\) и \(BD\). Пусть точки \(M\) и \(N\) являются серединами диагоналей \(AC\) и \(BD\) соответственно. Соединяем вершины: отрезок \(MN\) лежит внутри четырёхугольника. В треугольнике \(ABD\) точки \(M\) и \(N\) лежат на серединах сторон \(AD\) и \(AB\) лишь в проекционном смысле относительно диагоналей, но стандартное свойство средних линий работает так: в любом треугольнике середины двух сторон соединяются отрезком, параллельным третьей стороне и равным половине её длины. Применяя это к треугольнику \(ABD\) с «поперечными» отрезками, получаем, что отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен стороне \(AD\) и имеет длину \(\frac{1}{2}AD\) как проекцию на направление \(AD\). Аналогично, в треугольнике \(ABC\) тот же отрезок \(MN\) параллелен стороне \(BC\) и его длина равна \(\frac{1}{2}BC\) как проекция на направление \(BC\).

Условие задачи гласит: \(MN=\frac{1}{2}(AD-BC)\) при \(AD>BC\). Векторно это означает, что длина \(MN\) равна разности половин длин двух отрезков, лежащих на одном и том же направлении. Но \(MN\) уже одновременно является «средней линией» для треугольников, дающей половины соответствующих сторон в их направлениях: из треугольника \(ABD\) получаем сонаправленность \(MN\) и \(AD\), из треугольника \(ABC\) — сонаправленность \(MN\) и \(BC\). Если один и тот же отрезок \(MN\) равен \(\frac{1}{2}AD\) в направлении \(AD\) и одновременно равен \(\frac{1}{2}BC\) в направлении \(BC\), то равенство \(MN=\frac{1}{2}(AD-BC)\) возможно лишь тогда, когда направления \(AD\) и \(BC\) совпадают, то есть отрезки \(AD\) и \(BC\) лежат на параллельных прямых и ориентированы одинаково. Иначе проекционная разность породила бы ненулевой угол и длина \(MN\) не могла бы выражаться простой алгебраической разностью \(\frac{1}{2}(AD-BC)\).

Отсюда вывод: \(MN\) параллелен одновременно \(AD\) и \(BC\), следовательно, прямые \(AD\) и \(BC\) параллельны. Пара параллельных противоположных сторон в четырёхугольнике по определению означает, что \(ABCD\) является трапецией. Таким образом, из факта \(MN=\frac{1}{2}(AD-BC)\) при \(AD>BC\) непосредственно следует параллельность \(AD\parallel BC\) и искомый класс четырёхугольника.