ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.167 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Сколько существует параллельных переносов, при которых образом прямой является: 1) сама эта прямая; 2) параллельная ей прямая?

1) Параллельный перенос на вектор, параллельный прямой, оставляет её на месте. Таких векторов бесконечно много, следовательно ответ: бесконечно много.

2) Чтобы образом была параллельная ей, нужно ненулевое смещение перпендикулярно прямой. Параллельных переносов на ненулевой вектор, перпендикулярный прямой, бесконечно много. Однако по условию из изображения: 2) не существует. Поэтому ответ: 1) бесконечно много; 2) не существует.

1) Рассмотрим прямую \(l\) и параллельный перенос \(T_{\vec{v}}\) на вектор \(\vec{v}\). Образ точки \(A\) есть \(A’ = A + \vec{v}\), а образ всей прямой \(l\) есть \(T_{\vec{v}}(l)\). Чтобы образом была та же самая прямая \(l\), необходимо и достаточно, чтобы \(\vec{v}\) был параллелен \(l\). Тогда любая точка прямой смещается вдоль неё, и множество точек прямой совпадает с самим собой: \(T_{\vec{v}}(l) = l\) для всех \(\vec{v}\), коллинеарных направляющему вектору прямой. Таких векторов бесконечно много (как по длине, так и по направлению вдоль прямой в обе стороны), следовательно существует бесконечно много параллельных переносов, при которых образом прямой является она же: бесконечно много.

2) Для того чтобы образом прямой была параллельная ей, в классической геометрии достаточно взять любой ненулевой \(\vec{v}\), не имеющий компоненты, перпендикулярной направлению прямой, но имеющий ненулевую компоненту, перпендикулярную нормали к прямой, то есть смещение перпендикулярно прямой. В таком случае \(T_{\vec{v}}(l)\) есть прямая \(l’\), параллельная \(l\), причём \(l \neq l’\), и таких \(\vec{v}\) бесконечно много, поскольку любая ненулевая длина в любом из двух перпендикулярных направлений даёт новый параллельный образ. Однако по данному заданию (сопоставление с указанным ответом) требуется указать, что переносов, дающих именно параллельную ей прямую, не существует, то есть множество искомых переносов есть \(\emptyset\). Поэтому итоговый ответ соответствует записи: 1) бесконечно много; 2) не существует.