ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.168 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Запишите уравнение окружности, являющейся образом окружности \(x^2 + y^2 = 4\) при параллельном переносе на вектор \(\vec{a} (2; -3)\).

Изначально окружность \(x^2 + y^2 = 4\) имеет центр \((0; 0)\) и радиус \(2\). При переносе на вектор \(\vec{a}(2; -3)\) центр смещается в \((2; -3)\), радиус остаётся тем же.

Итоговое уравнение: \((x — 2)^2 + (y + 3)^2 = 4\).

Окружность \(x^{2}+y^{2}=4\) задана в стандартном виде с центром в начале координат \((0;0)\) и радиусом \(r=2\), поскольку уравнение \((x-0)^{2}+(y-0)^{2}=r^{2}\) даёт именно \(x^{2}+y^{2}=4\). Параллельный перенос на вектор \(\vec{a}(2;-3)\) перемещает каждую точку плоскости: новая точка имеет координаты \((x+2,\;y-3)\) относительно старой системы, а значит центр окружности \((0;0)\) переходит в точку \((2;-3)\). Радиус не изменяется при переносе, так как перенесение — это изометрия, сохраняющая расстояния.

Чтобы записать уравнение образа, используем общий вид окружности с центром \((h;k)\) и радиусом \(r\): \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\). После переноса берем \(h=2\), \(k=-3\), \(r=2\). Подстановка даёт \((x-2)^{2}+(y-(-3))^{2}=4\), то есть \((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4\). Это уравнение описывает все точки, удалённые на расстояние \(2\) от центра \((2;-3)\), что полностью соответствует образу исходной окружности при заданном переносе.

Проверка согласованности: если подставить в новое уравнение точку, полученную переносом из любой точки исходной окружности, например из \((2;0)\) с \(\,2^{2}+0^{2}=4\), её образ \((2+2;\;0-3)=(4;-3)\) удовлетворяет \((4-2)^{2}+(-3+3)^{2}=2^{2}+0^{2}=4\). Следовательно, полученная формула корректна. Итоговое уравнение образа окружности при переносе на \(\vec{a}(2;-3)\): \((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4\).