ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.169 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Укажите движение, при котором образом четырёхугольника ABCD, изображённого на рисунке 22.8, является четырёхугольник MNKP.

Движение: осевая симметрия.

Краткое решение: точки \(A,B,C,D\) переходят соответственно в \(M,N,K,P\) при отражении относительно оси симметрии, так как соответствующие отрезки пар точек перпендикулярны оси и равны по длине, а ось проходит через середины отрезков \(A\!M, B\!N, C\!K, D\!P\). Поэтому образом четырёхугольника \(ABCD\) при отражении является четырёхугольник \(MNKP\).

1) Движение: осевая симметрия. Рассматриваем прямую, служащую осью симметрии. Для каждой точки четырёхугольника \(ABCD\) строится её зеркальный образ относительно этой оси: точка \(A\) переходит в \(M\), \(B\) в \(N\), \(C\) в \(K\), \(D\) в \(P\). При таком преобразовании расстояния до оси сохраняются, а направления перпендикуляров меняются на противоположные. Формально: если \(l\) — ось симметрии, то для каждой пары \((X,X’)\) из \((A,M), (B,N), (C,K), (D,P)\) выполняется \(XX’\perp l\) и середина отрезка \(XX’\) лежит на \(l\). Это гарантирует, что фигура-образ сохраняет форму и размеры исходного четырёхугольника, но «отзеркалена» относительно \(l\).

2) Проверка соответствия вершин: отрезки \(A\!M, B\!N, C\!K, D\!P\) попарно перпендикулярны оси и имеют одинаковые половинные проекции на неё, поскольку середины этих отрезков лежат на оси. Условие симметричного расположения можно записать так: если \(H_A, H_B, H_C, H_D\) — точки пересечения перпендикуляров из \(A,B,C,D\) на ось \(l\), то \(H_A=H_M\), \(H_B=H_N\), \(H_C=H_K\), \(H_D=H_P\), а также \(AH_A=MH_A\), \(BH_B=NH_B\), \(CH_C=KH_C\), \(DH_D=PH_D\). Следовательно, соответствующие стороны переходят в параллельные и равные им по длине: \(AB\) в \(MN\), \(BC\) в \(NK\), \(CD\) в \(KP\), \(DA\) в \(PM\), при этом углы сохраняются по величине, но меняется их ориентированность.

3) Итог: поскольку осевая симметрия является движением, расстояния и углы инвариантны, то образ всего четырёхугольника \(ABCD\) при отражении относительно оси \(l\) есть четырёхугольник \(MNKP\). Таким образом, выполняется равенство длин соответствующих сторон \(AB=MN\), \(BC=NK\), \(CD=KP\), \(DA=PM\), а также равенство соответствующих углов \(\angle ABC=\angle MNK\), \(\angle BCD=\angle NKP\), \(\angle CDA=\angle KPM\), \(\angle DAB=\angle PMN\). Следовательно, требуемое движение — осевая симметрия, при которой вершины \(A,B,C,D\) переходят соответственно в \(M,N,K,P\), а ось проходит через середины отрезков \(A\!M, B\!N, C\!K, D\!P\).