ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Прямая, параллельная стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает его сторону \(AB\) в точке \(M\), а сторону \(BC\) — в точке \(K\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(BM=3\) см, \(AM=4\) см, а площадь четырёхугольника \(AMKC\) равна 80 см\(^2\).

Треугольники \(MBK\) и \(ABC\) подобны, так как \(MK \parallel AC\). Тогда коэффициент подобия равен \( \frac{MB}{AB}=\frac{3}{3+4}=\frac{3}{7}\), следовательно, отношение площадей \( \frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\left(\frac{3}{7}\right)^{2}=\frac{9}{49}\).

Площадь четырёхугольника \(AMKC\) равна разности площадей: \(S_{AMKC}=S_{ABC}-S_{MBK}=S_{ABC}\left(1-\frac{9}{49}\right)=S_{ABC}\cdot\frac{40}{49}\).

По условию \(S_{AMKC}=80\), значит \(S_{ABC}\cdot\frac{40}{49}=80\), откуда \(S_{ABC}=80\cdot\frac{49}{40}=98\) см\(^2\).

1) Так как прямая \(MK\) параллельна стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), то по теореме о параллельных прямых в треугольнике получаем подобие треугольников \(MBK\) и \(ABC\) с одинаковой ориентацией вершин: \(M \leftrightarrow A\), \(B \leftrightarrow B\), \(K \leftrightarrow C\). Подобие следует из равенства углов: \(\angle MBK=\angle ABC\) как вертикальные углы при параллельных прямых, а также \(\angle MKB=\angle ACB\) как накрест лежащие углы при \(MK \parallel AC\). Следовательно, коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон, проходящих через вершину \(B\): \(k=\frac{MB}{AB}\). По условию \(MB=3\) см и \(AM=4\) см, значит \(AB=AM+MB=4+3=7\) см. Тогда \(k=\frac{3}{7}\). Для подобных треугольников площади относятся как квадраты коэффициента подобия, поэтому \(\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\left(\frac{3}{7}\right)^{2}=\frac{9}{49}\). Это означает, что меньший треугольник \(MBK\) занимает \(\frac{9}{49}\) от площади исходного \(ABC\).

2) Четырёхугольник \(AMKC\) составлен из треугольника \(ABC\) за вычетом малого треугольника \(MBK\), так как прямая \(MK\) «отрезает» от \(ABC\) подобный треугольник у вершины \(B\). Поэтому его площадь выражается через площадь всего треугольника как \(S_{AMKC}=S_{ABC}-S_{MBK}\). Подставляя отношение площадей, получаем \(S_{AMKC}=S_{ABC}\left(1-\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}\right)=S_{ABC}\left(1-\frac{9}{49}\right)=S_{ABC}\cdot\frac{40}{49}\). Здесь множитель \(\frac{40}{49}\) показывает, что четырёхугольник занимает оставшуюся часть площади после удаления \(\frac{9}{49}\), что согласуется с геометрической картиной: прямая, параллельная основанию, «срезает» сверху малый треугольник, подобный исходному.

3) По условию дана численная площадь \(S_{AMKC}=80\) см\(^2\). Подставим это значение в найденную формулу и найдём \(S_{ABC}\): \(80=S_{ABC}\cdot\frac{40}{49}\). Отсюда \(S_{ABC}=80\cdot\frac{49}{40}\). Сократим множители: \(\frac{80}{40}=2\), следовательно, \(S_{ABC}=2\cdot 49=98\) см\(^2\). Итак, искомая площадь треугольника равна \(98\) см\(^2\).